Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44919 / 78152
↖ ↑ ↗
← S 32.713355°
W 56.626282°		 ← 256.98 m → S 32.713355°
W 56.623535°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
S 32.715666°
W 56.626282°		 ← 256.97 m →
66 028 m²		 S 32.715666°
W 56.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342708587646484 y=0.596256256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342708587646484 × 217)
    floor (0.342708587646484 × 131072)
    floor (44919.5)     		tx = 44919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596256256103516 × 217)
    floor (0.596256256103516 × 131072)
    floor (78152.5)     		ty = 78152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44919 / 78152 ti = "17/44919/78152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44919/78152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44919 ÷ 217
    44919 ÷ 131072     		x = 0.342704772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78152 ÷ 217
    78152 ÷ 131072     		y = 0.59625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342704772949219 × 2 - 1) × π
    -0.314590454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.98831506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604771925606628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98831506} λ = -0.98831506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604771925606628))-π/2
    2×atan(0.546198986437211)-π/2
    2×0.49992028326079-π/2
    0.99984056652158-1.57079632675     		φ = -0.57095576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98831506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.626282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57095576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.713355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44919 KachelY 78152 -0.98831506 -0.57095576 -56.626282 -32.713355
    Oben rechts KachelX + 1 44920 KachelY 78152 -0.98826712 -0.57095576 -56.623535 -32.713355
    Unten links KachelX 44919 KachelY + 1 78153 -0.98831506 -0.57099609 -56.626282 -32.715666
    Unten rechts KachelX + 1 44920 KachelY + 1 78153 -0.98826712 -0.57099609 -56.623535 -32.715666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57095576--0.57099609) × R
    4.03299999999218e-05 × 6371000     		dl = 256.942429999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57095576--0.57099609) × R
    4.03299999999218e-05 × 6371000     		dr = 256.942429999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98831506--0.98826712) × cos(-0.57095576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841384831985259 × 6371000     		do = 256.980584933705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98831506--0.98826712) × cos(-0.57099609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841363035498677 × 6371000     		du = 256.973927725661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57095576)-sin(-0.57099609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841384831985259-0.841363035498677)×R²
    abs(-0.98826712--0.98831506)×2.17964865816267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17964865816267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17964865816267e-05×40589641000000     		ar = 66028.3607049126m²