Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44917 / 94801
↖ ↑ ↗
← S 62.371270°
W 56.631775°		 ← 141.61 m → S 62.371270°
W 56.629029°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.372544°
W 56.631775°		 ← 141.60 m →
20 055 m²		 S 62.372544°
W 56.629029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342693328857422 y=0.723278045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342693328857422 × 217)
    floor (0.342693328857422 × 131072)
    floor (44917.5)     		tx = 44917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723278045654297 × 217)
    floor (0.723278045654297 × 131072)
    floor (94801.5)     		ty = 94801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44917 / 94801 ti = "17/44917/94801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44917/94801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44917 ÷ 217
    44917 ÷ 131072     		x = 0.342689514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94801 ÷ 217
    94801 ÷ 131072     		y = 0.723274230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342689514160156 × 2 - 1) × π
    -0.314620971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98841093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723274230957031 × 2 - 1) × π
    -0.446548461914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.40287336738094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98841093} λ = -0.98841093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40287336738094))-π/2
    2×atan(0.245889417276737)-π/2
    2×0.241106153250721-π/2
    0.482212306501442-1.57079632675     		φ = -1.08858402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98841093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.631775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08858402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.371270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44917 KachelY 94801 -0.98841093 -1.08858402 -56.631775 -62.371270
    Oben rechts KachelX + 1 44918 KachelY 94801 -0.98836300 -1.08858402 -56.629029 -62.371270
    Unten links KachelX 44917 KachelY + 1 94802 -0.98841093 -1.08860625 -56.631775 -62.372544
    Unten rechts KachelX + 1 44918 KachelY + 1 94802 -0.98836300 -1.08860625 -56.629029 -62.372544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08858402--1.08860625) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08858402--1.08860625) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98841093--0.98836300) × cos(-1.08858402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46374034879274 × 6371000     		do = 141.608694300346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98841093--0.98836300) × cos(-1.08860625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463720653539364 × 6371000     		du = 141.602680117794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08858402)-sin(-1.08860625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46374034879274-0.463720653539364)×R²
    abs(-0.98836300--0.98841093)×1.96952533755845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96952533755845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96952533755845e-05×40589641000000     		ar = 20055.2353929455m²