Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44912 / 95728
↖ ↑ ↗
← S 63.528971°
W 56.645508°		 ← 136.14 m → S 63.528971°
W 56.642761°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.530195°
W 56.645508°		 ← 136.14 m →
18 526 m²		 S 63.530195°
W 56.642761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342655181884766 y=0.730350494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342655181884766 × 217)
    floor (0.342655181884766 × 131072)
    floor (44912.5)     		tx = 44912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730350494384766 × 217)
    floor (0.730350494384766 × 131072)
    floor (95728.5)     		ty = 95728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44912 / 95728 ti = "17/44912/95728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44912/95728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44912 ÷ 217
    44912 ÷ 131072     		x = 0.3426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95728 ÷ 217
    95728 ÷ 131072     		y = 0.7303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98865062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44731087332874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98865062} λ = -0.98865062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44731087332874))-π/2
    2×atan(0.235201926208612)-π/2
    2×0.231003310234304-π/2
    0.462006620468609-1.57079632675     		φ = -1.10878971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98865062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10878971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.528971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44912 KachelY 95728 -0.98865062 -1.10878971 -56.645508 -63.528971
    Oben rechts KachelX + 1 44913 KachelY 95728 -0.98860268 -1.10878971 -56.642761 -63.528971
    Unten links KachelX 44912 KachelY + 1 95729 -0.98865062 -1.10881107 -56.645508 -63.530195
    Unten rechts KachelX + 1 44913 KachelY + 1 95729 -0.98860268 -1.10881107 -56.642761 -63.530195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10878971--1.10881107) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10878971--1.10881107) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98865062--0.98860268) × cos(-1.10878971) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.44574524596887 × 6371000     		do = 136.14207160175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98865062--0.98860268) × cos(-1.10881107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.445726125252568 × 6371000     		du = 136.136231642824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10878971)-sin(-1.10881107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44574524596887-0.445726125252568)×R²
    abs(-0.98860268--0.98865062)×1.91207163025564e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.91207163025564e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.91207163025564e-05×40589641000000     		ar = 18526.4365479795m²