Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44911 / 94811
↖ ↑ ↗
← S 62.384005°
W 56.648254°		 ← 141.55 m → S 62.384005°
W 56.645508°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
S 62.385278°
W 56.648254°		 ← 141.54 m →
20 038 m²		 S 62.385278°
W 56.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342647552490234 y=0.723354339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342647552490234 × 217)
    floor (0.342647552490234 × 131072)
    floor (44911.5)     		tx = 44911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723354339599609 × 217)
    floor (0.723354339599609 × 131072)
    floor (94811.5)     		ty = 94811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44911 / 94811 ti = "17/44911/94811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44911/94811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44911 ÷ 217
    44911 ÷ 131072     		x = 0.342643737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94811 ÷ 217
    94811 ÷ 131072     		y = 0.723350524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342643737792969 × 2 - 1) × π
    -0.314712524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98869855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723350524902344 × 2 - 1) × π
    -0.446701049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40335273637714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98869855} λ = -0.98869855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40335273637714))-π/2
    2×atan(0.245771573761121)-π/2
    2×0.240995025478997-π/2
    0.481990050957994-1.57079632675     		φ = -1.08880628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98869855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.648254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08880628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.384005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44911 KachelY 94811 -0.98869855 -1.08880628 -56.648254 -62.384005
    Oben rechts KachelX + 1 44912 KachelY 94811 -0.98865062 -1.08880628 -56.645508 -62.384005
    Unten links KachelX 44911 KachelY + 1 94812 -0.98869855 -1.08882850 -56.648254 -62.385278
    Unten rechts KachelX + 1 44912 KachelY + 1 94812 -0.98865062 -1.08882850 -56.645508 -62.385278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08880628--1.08882850) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08880628--1.08882850) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98869855--0.98865062) × cos(-1.08880628) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.463543421391002 × 6371000     		do = 141.548560148861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98869855--0.98865062) × cos(-1.08882850) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.46352373270774 × 6371000     		du = 141.542547972572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08880628)-sin(-1.08882850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463543421391002-0.46352373270774)×R²
    abs(-0.98865062--0.98869855)×1.96886832621868e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96886832621868e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96886832621868e-05×40589641000000     		ar = 20037.7010285684m²