Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44910 / 78090
↖ ↑ ↗
← S 32.569962°
W 56.651001°		 ← 257.39 m → S 32.569962°
W 56.648254°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 32.572277°
W 56.651001°		 ← 257.39 m →
66 249 m²		 S 32.572277°
W 56.648254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342639923095703 y=0.595783233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342639923095703 × 217)
    floor (0.342639923095703 × 131072)
    floor (44910.5)     		tx = 44910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595783233642578 × 217)
    floor (0.595783233642578 × 131072)
    floor (78090.5)     		ty = 78090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44910 / 78090 ti = "17/44910/78090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44910/78090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44910 ÷ 217
    44910 ÷ 131072     		x = 0.342636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78090 ÷ 217
    78090 ÷ 131072     		y = 0.595779418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342636108398438 × 2 - 1) × π
    -0.314727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98874649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.191558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.601799837830185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98874649} λ = -0.98874649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601799837830185))-π/2
    2×atan(0.547824752531334)-π/2
    2×0.501171621439129-π/2
    1.00234324287826-1.57079632675     		φ = -0.56845308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98874649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.651001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56845308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.569962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44910 KachelY 78090 -0.98874649 -0.56845308 -56.651001 -32.569962
    Oben rechts KachelX + 1 44911 KachelY 78090 -0.98869855 -0.56845308 -56.648254 -32.569962
    Unten links KachelX 44910 KachelY + 1 78091 -0.98874649 -0.56849348 -56.651001 -32.572277
    Unten rechts KachelX + 1 44911 KachelY + 1 78091 -0.98869855 -0.56849348 -56.648254 -32.572277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56845308--0.56849348) × R
    4.03999999999405e-05 × 6371000     		dl = 257.388399999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56845308--0.56849348) × R
    4.03999999999405e-05 × 6371000     		dr = 257.388399999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98874649--0.98869855) × cos(-0.56845308) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842734735120065 × 6371000     		do = 257.392880098177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98874649--0.98869855) × cos(-0.56849348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842712985938706 × 6371000     		du = 257.386237338366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56845308)-sin(-0.56849348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842734735120065-0.842712985938706)×R²
    abs(-0.98869855--0.98874649)×2.17491813585546e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17491813585546e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17491813585546e-05×40589641000000     		ar = 66249.0867040779m²