Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44909 / 78091
↖ ↑ ↗
← S 32.572277°
W 56.653748°		 ← 257.39 m → S 32.572277°
W 56.651001°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 32.574592°
W 56.653748°		 ← 257.38 m →
66 247 m²		 S 32.574592°
W 56.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342632293701172 y=0.595790863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342632293701172 × 217)
    floor (0.342632293701172 × 131072)
    floor (44909.5)     		tx = 44909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595790863037109 × 217)
    floor (0.595790863037109 × 131072)
    floor (78091.5)     		ty = 78091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44909 / 78091 ti = "17/44909/78091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44909/78091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44909 ÷ 217
    44909 ÷ 131072     		x = 0.342628479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78091 ÷ 217
    78091 ÷ 131072     		y = 0.595787048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342628479003906 × 2 - 1) × π
    -0.314743041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.98879443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595787048339844 × 2 - 1) × π
    -0.191574096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.601847774729805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98879443} λ = -0.98879443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601847774729805))-π/2
    2×atan(0.547798492140589)-π/2
    2×0.501151422654607-π/2
    1.00230284530921-1.57079632675     		φ = -0.56849348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98879443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.653748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56849348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.572277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44909 KachelY 78091 -0.98879443 -0.56849348 -56.653748 -32.572277
    Oben rechts KachelX + 1 44910 KachelY 78091 -0.98874649 -0.56849348 -56.651001 -32.572277
    Unten links KachelX 44909 KachelY + 1 78092 -0.98879443 -0.56853388 -56.653748 -32.574592
    Unten rechts KachelX + 1 44910 KachelY + 1 78092 -0.98874649 -0.56853388 -56.651001 -32.574592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56849348--0.56853388) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56849348--0.56853388) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98879443--0.98874649) × cos(-0.56849348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842712985938706 × 6371000     		do = 257.38623733777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98879443--0.98874649) × cos(-0.56853388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842691235381905 × 6371000     		du = 257.379594157864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56849348)-sin(-0.56853388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842712985938706-0.842691235381905)×R²
    abs(-0.98874649--0.98879443)×2.17505568010923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17505568010923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17505568010923e-05×40589641000000     		ar = 66247.3768808318m²