Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4490 / 5969
↖ ↑ ↗
← S 63.253411°
E 17.314453°		 ← 2 199.14 m → S 63.253411°
E 17.358399°		 →
↑
2 198.44 m
↓
↑
2 198.44 m
↓
S 63.273182°
E 17.314453°		 ← 2 197.64 m →
4 833 031 m²		 S 63.273182°
E 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54815673828125 y=0.72869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54815673828125 × 213)
    floor (0.54815673828125 × 8192)
    floor (4490.5)     		tx = 4490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72869873046875 × 213)
    floor (0.72869873046875 × 8192)
    floor (5969.5)     		ty = 5969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4490 / 5969 ti = "13/4490/5969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4490/5969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4490 ÷ 213
    4490 ÷ 8192     		x = 0.548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5969 ÷ 213
    5969 ÷ 8192     		y = 0.7286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548095703125 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43657300781384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30219422} λ = 0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43657300781384))-π/2
    2×atan(0.237741101122894)-π/2
    2×0.233408015929294-π/2
    0.466816031858589-1.57079632675     		φ = -1.10398029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10398029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.253411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4490 KachelY 5969 0.30219422 -1.10398029 17.314453 -63.253411
    Oben rechts KachelX + 1 4491 KachelY 5969 0.30296121 -1.10398029 17.358399 -63.253411
    Unten links KachelX 4490 KachelY + 1 5970 0.30219422 -1.10432536 17.314453 -63.273182
    Unten rechts KachelX + 1 4491 KachelY + 1 5970 0.30296121 -1.10432536 17.358399 -63.273182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10398029--1.10432536) × R
    0.000345070000000058 × 6371000     		dl = 2198.44097000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10398029--1.10432536) × R
    0.000345070000000058 × 6371000     		dr = 2198.44097000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30219422-0.30296121) × cos(-1.10398029) × R
    0.000766989999999967 × 0.450045273957952 × 6371000     		do = 2199.14321139165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30219422-0.30296121) × cos(-1.10432536) × R
    0.000766989999999967 × 0.449737097679231 × 6371000     		du = 2197.63731007355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10398029)-sin(-1.10432536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450045273957952-0.449737097679231)×R²
    abs(0.30296121-0.30219422)×0.000308176278720207×R²
    0.000766989999999967×0.000308176278720207×6371000²
    0.000766989999999967×0.000308176278720207×40589641000000     		ar = 4833031.26520158m²