Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 449 / 571
↖ ↑ ↗
← N 78.152551°
W140.537109°		 ← 2 006.46 m → N 78.152551°
W140.449219°		 →
↑
2 007.95 m
↓
↑
2 007.95 m
↓
N 78.134493°
W140.537109°		 ← 2 009.47 m →
4 031 892 m²		 N 78.134493°
W140.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1097412109375 y=0.1395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1097412109375 × 212)
    floor (0.1097412109375 × 4096)
    floor (449.5)     		tx = 449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1395263671875 × 212)
    floor (0.1395263671875 × 4096)
    floor (571.5)     		ty = 571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 449 / 571 ti = "12/449/571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/449/571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 449 ÷ 212
    449 ÷ 4096     		x = 0.109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 571 ÷ 212
    571 ÷ 4096     		y = 0.139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.78076171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45283528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    0.72119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26568962364233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45283528} λ = -2.45283528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26568962364233))-π/2
    2×atan(9.63776874305284)-π/2
    2×1.46740783256436-π/2
    2.93481566512873-1.57079632675     		φ = 1.36401934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45283528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36401934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 449 KachelY 571 -2.45283528 1.36401934 -140.537109 78.152551
    Oben rechts KachelX + 1 450 KachelY 571 -2.45130130 1.36401934 -140.449219 78.152551
    Unten links KachelX 449 KachelY + 1 572 -2.45283528 1.36370417 -140.537109 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 450 KachelY + 1 572 -2.45130130 1.36370417 -140.449219 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36401934-1.36370417) × R
    0.00031516999999992 × 6371000     		dl = 2007.94806999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36401934-1.36370417) × R
    0.00031516999999992 × 6371000     		dr = 2007.94806999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45283528--2.45130130) × cos(1.36401934) × R
    0.00153398000000005 × 0.205306616029956 × 6371000     		do = 2006.45880324603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45283528--2.45130130) × cos(1.36370417) × R
    0.00153398000000005 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 2009.47324140638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36401934)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205306616029956-0.205615061983061)×R²
    abs(-2.45130130--2.45283528)×0.000308445953104947×R²
    0.00153398000000005×0.000308445953104947×6371000²
    0.00153398000000005×0.000308445953104947×40589641000000     		ar = 4031891.53252463m²