Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4489 / 5966
↖ ↑ ↗
← S 63.194018°
E 17.270508°		 ← 2 203.69 m → S 63.194018°
E 17.314453°		 →
↑
2 202.90 m
↓
↑
2 202.90 m
↓
S 63.213830°
E 17.270508°		 ← 2 202.19 m →
4 852 858 m²		 S 63.213830°
E 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54803466796875 y=0.72833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54803466796875 × 213)
    floor (0.54803466796875 × 8192)
    floor (4489.5)     		tx = 4489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72833251953125 × 213)
    floor (0.72833251953125 × 8192)
    floor (5966.5)     		ty = 5966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4489 / 5966 ti = "13/4489/5966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4489/5966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4489 ÷ 213
    4489 ÷ 8192     		x = 0.5479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5966 ÷ 213
    5966 ÷ 8192     		y = 0.728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5479736328125 × 2 - 1) × π
    0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30142722} λ = 0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43427203663208))-π/2
    2×atan(0.238288766384658)-π/2
    2×0.233926318751373-π/2
    0.467852637502747-1.57079632675     		φ = -1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4489 KachelY 5966 0.30142722 -1.10294369 17.270508 -63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 4490 KachelY 5966 0.30219422 -1.10294369 17.314453 -63.194018
    Unten links KachelX 4489 KachelY + 1 5967 0.30142722 -1.10328946 17.270508 -63.213830
    Unten rechts KachelX + 1 4490 KachelY + 1 5967 0.30219422 -1.10328946 17.314453 -63.213830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10294369--1.10328946) × R
    0.000345770000000023 × 6371000     		dl = 2202.90067000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10294369--1.10328946) × R
    0.000345770000000023 × 6371000     		dr = 2202.90067000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30142722-0.30219422) × cos(-1.10294369) × R
    0.000767000000000018 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 2203.6941371449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30142722-0.30219422) × cos(-1.10328946) × R
    0.000767000000000018 × 0.450662081672966 × 6371000     		du = 2202.18594983366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10294369)-sin(-1.10328946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.450662081672966)×R²
    abs(0.30219422-0.30142722)×0.000308640073418465×R²
    0.000767000000000018×0.000308640073418465×6371000²
    0.000767000000000018×0.000308640073418465×40589641000000     		ar = 4852858.14612255m²