Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4489 / 13055
↖ ↑ ↗
← S 72.389059°
W 81.364746°		 ← 739.20 m → S 72.389059°
W 81.342773°		 →
↑
739.10 m
↓
↑
739.10 m
↓
S 72.395706°
W 81.364746°		 ← 738.93 m →
546 242 m²		 S 72.395706°
W 81.342773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274017333984375 y=0.796844482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274017333984375 × 214)
    floor (0.274017333984375 × 16384)
    floor (4489.5)     		tx = 4489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796844482421875 × 214)
    floor (0.796844482421875 × 16384)
    floor (13055.5)     		ty = 13055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4489 / 13055 ti = "14/4489/13055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4489/13055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4489 ÷ 214
    4489 ÷ 16384     		x = 0.27398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13055 ÷ 214
    13055 ÷ 16384     		y = 0.79681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42008271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.5936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86493714281866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42008271} λ = -1.42008271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86493714281866))-π/2
    2×atan(0.154905946530066)-π/2
    2×0.153684451962814-π/2
    0.307368903925628-1.57079632675     		φ = -1.26342742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42008271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.364746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26342742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.389059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4489 KachelY 13055 -1.42008271 -1.26342742 -81.364746 -72.389059
    Oben rechts KachelX + 1 4490 KachelY 13055 -1.41969922 -1.26342742 -81.342773 -72.389059
    Unten links KachelX 4489 KachelY + 1 13056 -1.42008271 -1.26354343 -81.364746 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 4490 KachelY + 1 13056 -1.41969922 -1.26354343 -81.342773 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26342742--1.26354343) × R
    0.000116009999999944 × 6371000     		dl = 739.099709999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26342742--1.26354343) × R
    0.000116009999999944 × 6371000     		dr = 739.099709999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42008271--1.41969922) × cos(-1.26342742) × R
    0.000383489999999931 × 0.302551905043017 × 6371000     		do = 739.19928914364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42008271--1.41969922) × cos(-1.26354343) × R
    0.000383489999999931 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 738.929130705863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26342742)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302551905043017-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.41969922--1.42008271)×0.000110574984599543×R²
    0.000383489999999931×0.000110574984599543×6371000²
    0.000383489999999931×0.000110574984599543×40589641000000     		ar = 546242.143838245m²