Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44889 / 78105
↖ ↑ ↗
← S 32.604676°
W 56.708679°		 ← 257.29 m → S 32.604676°
W 56.705933°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.606989°
W 56.708679°		 ← 257.29 m →
66 191 m²		 S 32.606989°
W 56.705933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342479705810547 y=0.595897674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342479705810547 × 217)
    floor (0.342479705810547 × 131072)
    floor (44889.5)     		tx = 44889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595897674560547 × 217)
    floor (0.595897674560547 × 131072)
    floor (78105.5)     		ty = 78105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44889 / 78105 ti = "17/44889/78105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44889/78105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44889 ÷ 217
    44889 ÷ 131072     		x = 0.342475891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78105 ÷ 217
    78105 ÷ 131072     		y = 0.595893859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342475891113281 × 2 - 1) × π
    -0.315048217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.98975317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595893859863281 × 2 - 1) × π
    -0.191787719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.602518891324486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98975317} λ = -0.98975317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602518891324486))-π/2
    2×atan(0.547430978817911)-π/2
    2×0.500868694413793-π/2
    1.00173738882759-1.57079632675     		φ = -0.56905894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98975317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.708679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56905894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.604676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44889 KachelY 78105 -0.98975317 -0.56905894 -56.708679 -32.604676
    Oben rechts KachelX + 1 44890 KachelY 78105 -0.98970523 -0.56905894 -56.705933 -32.604676
    Unten links KachelX 44889 KachelY + 1 78106 -0.98975317 -0.56909932 -56.708679 -32.606989
    Unten rechts KachelX + 1 44890 KachelY + 1 78106 -0.98970523 -0.56909932 -56.705933 -32.606989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56905894--0.56909932) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56905894--0.56909932) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98975317--0.98970523) × cos(-0.56905894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842408428431929 × 6371000     		do = 257.29321763589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98975317--0.98970523) × cos(-0.56909932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842386669404899 × 6371000     		du = 257.286571868958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56905894)-sin(-0.56909932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842408428431929-0.842386669404899)×R²
    abs(-0.98970523--0.98975317)×2.17590270307211e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17590270307211e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17590270307211e-05×40589641000000     		ar = 66190.6504769689m²