Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44884 / 78100
↖ ↑ ↗
← S 32.593106°
W 56.722412°		 ← 257.33 m → S 32.593106°
W 56.719665°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 32.595420°
W 56.722412°		 ← 257.32 m →
66 216 m²		 S 32.595420°
W 56.719665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342441558837891 y=0.595859527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342441558837891 × 217)
    floor (0.342441558837891 × 131072)
    floor (44884.5)     		tx = 44884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595859527587891 × 217)
    floor (0.595859527587891 × 131072)
    floor (78100.5)     		ty = 78100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44884 / 78100 ti = "17/44884/78100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44884/78100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44884 ÷ 217
    44884 ÷ 131072     		x = 0.342437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78100 ÷ 217
    78100 ÷ 131072     		y = 0.595855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.31512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98999285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.19171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602279206826385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98999285} λ = -0.98999285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602279206826385))-π/2
    2×atan(0.547562205263157)-π/2
    2×0.500969657053518-π/2
    1.00193931410704-1.57079632675     		φ = -0.56885701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98999285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56885701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.593106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44884 KachelY 78100 -0.98999285 -0.56885701 -56.722412 -32.593106
    Oben rechts KachelX + 1 44885 KachelY 78100 -0.98994491 -0.56885701 -56.719665 -32.593106
    Unten links KachelX 44884 KachelY + 1 78101 -0.98999285 -0.56889740 -56.722412 -32.595420
    Unten rechts KachelX + 1 44885 KachelY + 1 78101 -0.98994491 -0.56889740 -56.719665 -32.595420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56885701--0.56889740) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dl = 257.324690000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56885701--0.56889740) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dr = 257.324690000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98999285--0.98994491) × cos(-0.56885701) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842517219122691 × 6371000     		do = 257.326445113717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98999285--0.98994491) × cos(-0.56889740) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842495461577923 × 6371000     		du = 257.319799799506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56885701)-sin(-0.56889740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842517219122691-0.842495461577923)×R²
    abs(-0.98994491--0.98999285)×2.17575447679641e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17575447679641e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17575447679641e-05×40589641000000     		ar = 66215.5927249943m²