Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44874 / 78127
↖ ↑ ↗
← S 32.655563°
W 56.749878°		 ← 257.15 m → S 32.655563°
W 56.747131°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 32.657876°
W 56.749878°		 ← 257.14 m →
66 120 m²		 S 32.657876°
W 56.747131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342365264892578 y=0.596065521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342365264892578 × 217)
    floor (0.342365264892578 × 131072)
    floor (44874.5)     		tx = 44874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596065521240234 × 217)
    floor (0.596065521240234 × 131072)
    floor (78127.5)     		ty = 78127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44874 / 78127 ti = "17/44874/78127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44874/78127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44874 ÷ 217
    44874 ÷ 131072     		x = 0.342361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78127 ÷ 217
    78127 ÷ 131072     		y = 0.596061706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342361450195312 × 2 - 1) × π
    -0.315277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99047222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596061706542969 × 2 - 1) × π
    -0.192123413085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.603573503116127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99047222} λ = -0.99047222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603573503116127))-π/2
    2×atan(0.546853955973568)-π/2
    2×0.500424613730667-π/2
    1.00084922746133-1.57079632675     		φ = -0.56994710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99047222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.749878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56994710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.655563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44874 KachelY 78127 -0.99047222 -0.56994710 -56.749878 -32.655563
    Oben rechts KachelX + 1 44875 KachelY 78127 -0.99042428 -0.56994710 -56.747131 -32.655563
    Unten links KachelX 44874 KachelY + 1 78128 -0.99047222 -0.56998746 -56.749878 -32.657876
    Unten rechts KachelX + 1 44875 KachelY + 1 78128 -0.99042428 -0.56998746 -56.747131 -32.657876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56994710--0.56998746) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dl = 257.133559999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56994710--0.56998746) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dr = 257.133559999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99047222--0.99042428) × cos(-0.56994710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841929520519641 × 6371000     		do = 257.146946832388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99047222--0.99042428) × cos(-0.56998746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841907742081965 × 6371000     		du = 257.140295136945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56994710)-sin(-0.56998746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841929520519641-0.841907742081965)×R²
    abs(-0.99042428--0.99047222)×2.17784376769226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17784376769226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17784376769226e-05×40589641000000     		ar = 66120.2547039717m²