Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44863 / 78135
↖ ↑ ↗
← S 32.674061°
W 56.780091°		 ← 257.09 m → S 32.674061°
W 56.777344°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 32.676373°
W 56.780091°		 ← 257.09 m →
66 090 m²		 S 32.676373°
W 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342281341552734 y=0.596126556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342281341552734 × 217)
    floor (0.342281341552734 × 131072)
    floor (44863.5)     		tx = 44863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596126556396484 × 217)
    floor (0.596126556396484 × 131072)
    floor (78135.5)     		ty = 78135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44863 / 78135 ti = "17/44863/78135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44863/78135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44863 ÷ 217
    44863 ÷ 131072     		x = 0.342277526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78135 ÷ 217
    78135 ÷ 131072     		y = 0.596122741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342277526855469 × 2 - 1) × π
    -0.315444946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.99099953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596122741699219 × 2 - 1) × π
    -0.192245483398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.603956998313087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99099953} λ = -0.99099953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603956998313087))-π/2
    2×atan(0.546644280315387)-π/2
    2×0.500263192471716-π/2
    1.00052638494343-1.57079632675     		φ = -0.57026994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99099953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.780091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57026994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.674061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44863 KachelY 78135 -0.99099953 -0.57026994 -56.780091 -32.674061
    Oben rechts KachelX + 1 44864 KachelY 78135 -0.99095159 -0.57026994 -56.777344 -32.674061
    Unten links KachelX 44863 KachelY + 1 78136 -0.99099953 -0.57031029 -56.780091 -32.676373
    Unten rechts KachelX + 1 44864 KachelY + 1 78136 -0.99095159 -0.57031029 -56.777344 -32.676373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57026994--0.57031029) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dl = 257.069850000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57026994--0.57031029) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dr = 257.069850000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99099953--0.99095159) × cos(-0.57026994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84175527621515 × 6371000     		do = 257.093728136748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99099953--0.99095159) × cos(-0.57031029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84173349220749 × 6371000     		du = 257.087074740088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57026994)-sin(-0.57031029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84175527621515-0.84173349220749)×R²
    abs(-0.99095159--0.99099953)×2.17840076593978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17840076593978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17840076593978e-05×40589641000000     		ar = 66090.1909433787m²