Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44860 / 95172
↖ ↑ ↗
← S 62.840104°
W 56.788330°		 ← 139.42 m → S 62.840104°
W 56.785584°		 →
↑
139.46 m
↓
↑
139.46 m
↓
S 62.841358°
W 56.788330°		 ← 139.41 m →
19 443 m²		 S 62.841358°
W 56.785584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342258453369141 y=0.726108551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342258453369141 × 217)
    floor (0.342258453369141 × 131072)
    floor (44860.5)     		tx = 44860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726108551025391 × 217)
    floor (0.726108551025391 × 131072)
    floor (95172.5)     		ty = 95172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44860 / 95172 ti = "17/44860/95172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44860/95172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44860 ÷ 217
    44860 ÷ 131072     		x = 0.342254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95172 ÷ 217
    95172 ÷ 131072     		y = 0.726104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.31549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99114334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42065795713998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99114334} λ = -0.99114334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42065795713998))-π/2
    2×atan(0.241555031742229)-π/2
    2×0.237014801139014-π/2
    0.474029602278028-1.57079632675     		φ = -1.09676672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99114334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.788330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09676672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.840104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44860 KachelY 95172 -0.99114334 -1.09676672 -56.788330 -62.840104
    Oben rechts KachelX + 1 44861 KachelY 95172 -0.99109540 -1.09676672 -56.785584 -62.840104
    Unten links KachelX 44860 KachelY + 1 95173 -0.99114334 -1.09678861 -56.788330 -62.841358
    Unten rechts KachelX + 1 44861 KachelY + 1 95173 -0.99109540 -1.09678861 -56.785584 -62.841358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09676672--1.09678861) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dl = 139.461189999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09676672--1.09678861) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dr = 139.461189999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99114334--0.99109540) × cos(-1.09676672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.456475268370657 × 6371000     		do = 139.419296634038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99114334--0.99109540) × cos(-1.09678861) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.456455791938044 × 6371000     		du = 139.413348030194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09676672)-sin(-1.09678861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456475268370657-0.456455791938044)×R²
    abs(-0.99109540--0.99114334)×1.94764326136854e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94764326136854e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94764326136854e-05×40589641000000     		ar = 19443.1662186524m²