Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44857 / 78113
↖ ↑ ↗
← S 32.623183°
W 56.796570°		 ← 257.24 m → S 32.623183°
W 56.793823°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.625497°
W 56.796570°		 ← 257.23 m →
66 177 m²		 S 32.625497°
W 56.793823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342235565185547 y=0.595958709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342235565185547 × 217)
    floor (0.342235565185547 × 131072)
    floor (44857.5)     		tx = 44857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595958709716797 × 217)
    floor (0.595958709716797 × 131072)
    floor (78113.5)     		ty = 78113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44857 / 78113 ti = "17/44857/78113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44857/78113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44857 ÷ 217
    44857 ÷ 131072     		x = 0.342231750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78113 ÷ 217
    78113 ÷ 131072     		y = 0.595954895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342231750488281 × 2 - 1) × π
    -0.315536499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.99128715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595954895019531 × 2 - 1) × π
    -0.191909790039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.602902386521446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99128715} λ = -0.99128715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602902386521446))-π/2
    2×atan(0.547221081916666)-π/2
    2×0.500707181311601-π/2
    1.0014143626232-1.57079632675     		φ = -0.56938196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99128715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.796570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56938196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.623183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44857 KachelY 78113 -0.99128715 -0.56938196 -56.796570 -32.623183
    Oben rechts KachelX + 1 44858 KachelY 78113 -0.99123921 -0.56938196 -56.793823 -32.623183
    Unten links KachelX 44857 KachelY + 1 78114 -0.99128715 -0.56942234 -56.796570 -32.625497
    Unten rechts KachelX + 1 44858 KachelY + 1 78114 -0.99123921 -0.56942234 -56.793823 -32.625497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56938196--0.56942234) × R
    4.0380000000062e-05 × 6371000     		dl = 257.260980000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56938196--0.56942234) × R
    4.0380000000062e-05 × 6371000     		dr = 257.260980000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99128715--0.99123921) × cos(-0.56938196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842234328540535 × 6371000     		do = 257.240043047727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99128715--0.99123921) × cos(-0.56942234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842212558526787 × 6371000     		du = 257.233393925168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56938196)-sin(-0.56942234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842234328540535-0.842212558526787)×R²
    abs(-0.99123921--0.99128715)×2.17700137479238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17700137479238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17700137479238e-05×40589641000000     		ar = 66176.9702987555m²