Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44844 / 95108
↖ ↑ ↗
← S 62.759755°
W 56.832276°		 ← 139.80 m → S 62.759755°
W 56.829529°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
S 62.761012°
W 56.832276°		 ← 139.79 m →
19 541 m²		 S 62.761012°
W 56.829529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342136383056641 y=0.725620269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342136383056641 × 217)
    floor (0.342136383056641 × 131072)
    floor (44844.5)     		tx = 44844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725620269775391 × 217)
    floor (0.725620269775391 × 131072)
    floor (95108.5)     		ty = 95108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44844 / 95108 ti = "17/44844/95108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44844/95108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44844 ÷ 217
    44844 ÷ 131072     		x = 0.342132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95108 ÷ 217
    95108 ÷ 131072     		y = 0.725616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.31573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99191033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4175899955643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99191033} λ = -0.99191033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4175899955643))-π/2
    2×atan(0.242297251266346)-π/2
    2×0.237715981757932-π/2
    0.475431963515864-1.57079632675     		φ = -1.09536436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99191033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.832276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09536436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.759755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44844 KachelY 95108 -0.99191033 -1.09536436 -56.832276 -62.759755
    Oben rechts KachelX + 1 44845 KachelY 95108 -0.99186239 -1.09536436 -56.829529 -62.759755
    Unten links KachelX 44844 KachelY + 1 95109 -0.99191033 -1.09538630 -56.832276 -62.761012
    Unten rechts KachelX + 1 44845 KachelY + 1 95109 -0.99186239 -1.09538630 -56.829529 -62.761012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09536436--1.09538630) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dl = 139.77973999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09536436--1.09538630) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dr = 139.77973999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99191033--0.99186239) × cos(-1.09536436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457722549425089 × 6371000     		do = 139.800248372753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99191033--0.99186239) × cos(-1.09538630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45770304256879 × 6371000     		du = 139.794290476733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09536436)-sin(-1.09538630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457722549425089-0.45770304256879)×R²
    abs(-0.99186239--0.99191033)×1.95068562988676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95068562988676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95068562988676e-05×40589641000000     		ar = 19540.8259736653m²