Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44842 / 95109
↖ ↑ ↗
← S 62.761012°
W 56.837769°		 ← 139.79 m → S 62.761012°
W 56.835022°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
S 62.762269°
W 56.837769°		 ← 139.79 m →
19 540 m²		 S 62.762269°
W 56.835022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342121124267578 y=0.725627899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342121124267578 × 217)
    floor (0.342121124267578 × 131072)
    floor (44842.5)     		tx = 44842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725627899169922 × 217)
    floor (0.725627899169922 × 131072)
    floor (95109.5)     		ty = 95109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44842 / 95109 ti = "17/44842/95109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44842/95109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44842 ÷ 217
    44842 ÷ 131072     		x = 0.342117309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95109 ÷ 217
    95109 ÷ 131072     		y = 0.725624084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342117309570312 × 2 - 1) × π
    -0.315765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99200620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725624084472656 × 2 - 1) × π
    -0.451248168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41763793246392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99200620} λ = -0.99200620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41763793246392))-π/2
    2×atan(0.242285636565723)-π/2
    2×0.237705011091839-π/2
    0.475410022183678-1.57079632675     		φ = -1.09538630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99200620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.837769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09538630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.761012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44842 KachelY 95109 -0.99200620 -1.09538630 -56.837769 -62.761012
    Oben rechts KachelX + 1 44843 KachelY 95109 -0.99195826 -1.09538630 -56.835022 -62.761012
    Unten links KachelX 44842 KachelY + 1 95110 -0.99200620 -1.09540824 -56.837769 -62.762269
    Unten rechts KachelX + 1 44843 KachelY + 1 95110 -0.99195826 -1.09540824 -56.835022 -62.762269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09538630--1.09540824) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dl = 139.779740000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09538630--1.09540824) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dr = 139.779740000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99200620--0.99195826) × cos(-1.09538630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45770304256879 × 6371000     		do = 139.794290476733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99200620--0.99195826) × cos(-1.09540824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457683535492169 × 6371000     		du = 139.78833251342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09538630)-sin(-1.09540824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45770304256879-0.457683535492169)×R²
    abs(-0.99195826--0.99200620)×1.95070766205729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95070766205729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95070766205729e-05×40589641000000     		ar = 19539.9931759687m²