Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4484 / 13036
↖ ↑ ↗
← S 72.262310°
W 81.474609°		 ← 744.35 m → S 72.262310°
W 81.452637°		 →
↑
744.26 m
↓
↑
744.26 m
↓
S 72.269003°
W 81.474609°		 ← 744.08 m →
553 888 m²		 S 72.269003°
W 81.452637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273712158203125 y=0.795684814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273712158203125 × 214)
    floor (0.273712158203125 × 16384)
    floor (4484.5)     		tx = 4484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795684814453125 × 214)
    floor (0.795684814453125 × 16384)
    floor (13036.5)     		ty = 13036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4484 / 13036 ti = "14/4484/13036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4484/13036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4484 ÷ 214
    4484 ÷ 16384     		x = 0.273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13036 ÷ 214
    13036 ÷ 16384     		y = 0.795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.45263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42200019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.59130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85765073407642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42200019} λ = -1.42200019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85765073407642))-π/2
    2×atan(0.156038776692899)-π/2
    2×0.154790545897296-π/2
    0.309581091794591-1.57079632675     		φ = -1.26121523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42200019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.474609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26121523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.262310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4484 KachelY 13036 -1.42200019 -1.26121523 -81.474609 -72.262310
    Oben rechts KachelX + 1 4485 KachelY 13036 -1.42161670 -1.26121523 -81.452637 -72.262310
    Unten links KachelX 4484 KachelY + 1 13037 -1.42200019 -1.26133205 -81.474609 -72.269003
    Unten rechts KachelX + 1 4485 KachelY + 1 13037 -1.42161670 -1.26133205 -81.452637 -72.269003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26121523--1.26133205) × R
    0.000116820000000128 × 6371000     		dl = 744.260220000819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26121523--1.26133205) × R
    0.000116820000000128 × 6371000     		dr = 744.260220000819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42200019--1.42161670) × cos(-1.26121523) × R
    0.000383490000000153 × 0.30465967410453 × 6371000     		do = 744.349021689065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42200019--1.42161670) × cos(-1.26133205) × R
    0.000383490000000153 × 0.304548405499646 × 6371000     		du = 744.077168587949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26121523)-sin(-1.26133205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30465967410453-0.304548405499646)×R²
    abs(-1.42161670--1.42200019)×0.000111268604883918×R²
    0.000383490000000153×0.000111268604883918×6371000²
    0.000383490000000153×0.000111268604883918×40589641000000     		ar = 553888.202545036m²