Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44838 / 95646
↖ ↑ ↗
← S 63.428403°
W 56.848755°		 ← 136.62 m → S 63.428403°
W 56.846008°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.429632°
W 56.848755°		 ← 136.62 m →
18 670 m²		 S 63.429632°
W 56.846008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342090606689453 y=0.729724884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342090606689453 × 217)
    floor (0.342090606689453 × 131072)
    floor (44838.5)     		tx = 44838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729724884033203 × 217)
    floor (0.729724884033203 × 131072)
    floor (95646.5)     		ty = 95646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44838 / 95646 ti = "17/44838/95646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44838/95646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44838 ÷ 217
    44838 ÷ 131072     		x = 0.342086791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95646 ÷ 217
    95646 ÷ 131072     		y = 0.729721069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342086791992188 × 2 - 1) × π
    -0.315826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99219795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729721069335938 × 2 - 1) × π
    -0.459442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44338004755989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99219795} λ = -0.99219795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44338004755989))-π/2
    2×atan(0.236128283482765)-π/2
    2×0.231880926377026-π/2
    0.463761852754052-1.57079632675     		φ = -1.10703447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99219795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10703447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.428403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44838 KachelY 95646 -0.99219795 -1.10703447 -56.848755 -63.428403
    Oben rechts KachelX + 1 44839 KachelY 95646 -0.99215001 -1.10703447 -56.846008 -63.428403
    Unten links KachelX 44838 KachelY + 1 95647 -0.99219795 -1.10705592 -56.848755 -63.429632
    Unten rechts KachelX + 1 44839 KachelY + 1 95647 -0.99215001 -1.10705592 -56.846008 -63.429632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10703447--1.10705592) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10703447--1.10705592) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99219795--0.99215001) × cos(-1.10703447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447315778914641 × 6371000     		do = 136.621752788591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99219795--0.99215001) × cos(-1.10705592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447296594444564 × 6371000     		du = 136.615893357621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10703447)-sin(-1.10705592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447315778914641-0.447296594444564)×R²
    abs(-0.99215001--0.99219795)×1.91844700774269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91844700774269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91844700774269e-05×40589641000000     		ar = 18670.0482933572m²