Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44834 / 95650
↖ ↑ ↗
← S 63.433317°
W 56.859741°		 ← 136.60 m → S 63.433317°
W 56.856995°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.434546°
W 56.859741°		 ← 136.59 m →
18 658 m²		 S 63.434546°
W 56.856995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342060089111328 y=0.729755401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342060089111328 × 217)
    floor (0.342060089111328 × 131072)
    floor (44834.5)     		tx = 44834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729755401611328 × 217)
    floor (0.729755401611328 × 131072)
    floor (95650.5)     		ty = 95650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44834 / 95650 ti = "17/44834/95650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44834/95650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44834 ÷ 217
    44834 ÷ 131072     		x = 0.342056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95650 ÷ 217
    95650 ÷ 131072     		y = 0.729751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.315887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99238970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.459503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44357179515837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99238970} λ = -0.99238970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44357179515837))-π/2
    2×atan(0.236083010792077)-π/2
    2×0.231838044191374-π/2
    0.463676088382749-1.57079632675     		φ = -1.10712024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99238970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.859741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10712024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.433317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44834 KachelY 95650 -0.99238970 -1.10712024 -56.859741 -63.433317
    Oben rechts KachelX + 1 44835 KachelY 95650 -0.99234176 -1.10712024 -56.856995 -63.433317
    Unten links KachelX 44834 KachelY + 1 95651 -0.99238970 -1.10714168 -56.859741 -63.434546
    Unten rechts KachelX + 1 44835 KachelY + 1 95651 -0.99234176 -1.10714168 -56.856995 -63.434546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10712024--1.10714168) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dl = 136.59424000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10712024--1.10714168) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dr = 136.59424000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99238970--0.99234176) × cos(-1.10712024) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.447239066631987 × 6371000     		do = 136.598322883211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99238970--0.99234176) × cos(-1.10714168) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.447219890283282 × 6371000     		du = 136.592465932717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10712024)-sin(-1.10714168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447239066631987-0.447219890283282)×R²
    abs(-0.99234176--0.99238970)×1.9176348705352e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9176348705352e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9176348705352e-05×40589641000000     		ar = 18658.14408745m²