Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4483 / 5967
↖ ↑ ↗
← S 63.213830°
E 17.006836°		 ← 2 202.16 m → S 63.213830°
E 17.050781°		 →
↑
2 201.44 m
↓
↑
2 201.44 m
↓
S 63.233628°
E 17.006836°		 ← 2 200.65 m →
4 846 248 m²		 S 63.233628°
E 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54730224609375 y=0.72845458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54730224609375 × 213)
    floor (0.54730224609375 × 8192)
    floor (4483.5)     		tx = 4483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72845458984375 × 213)
    floor (0.72845458984375 × 8192)
    floor (5967.5)     		ty = 5967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4483 / 5967 ti = "13/4483/5967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4483/5967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4483 ÷ 213
    4483 ÷ 8192     		x = 0.5472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5967 ÷ 213
    5967 ÷ 8192     		y = 0.7283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5472412109375 × 2 - 1) × π
    0.094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29682528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.435039027026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29682528} λ = 0.29682528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.435039027026))-π/2
    2×atan(0.23810607126152)-π/2
    2×0.23375343283171-π/2
    0.467506865663419-1.57079632675     		φ = -1.10328946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29682528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10328946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.213830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4483 KachelY 5967 0.29682528 -1.10328946 17.006836 -63.213830
    Oben rechts KachelX + 1 4484 KachelY 5967 0.29759227 -1.10328946 17.050781 -63.213830
    Unten links KachelX 4483 KachelY + 1 5968 0.29682528 -1.10363500 17.006836 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 4484 KachelY + 1 5968 0.29759227 -1.10363500 17.050781 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10328946--1.10363500) × R
    0.000345539999999867 × 6371000     		dl = 2201.43533999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10328946--1.10363500) × R
    0.000345539999999867 × 6371000     		dr = 2201.43533999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29682528-0.29759227) × cos(-1.10328946) × R
    0.000766989999999967 × 0.450662081672966 × 6371000     		do = 2202.15723815229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29682528-0.29759227) × cos(-1.10363500) × R
    0.000766989999999967 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 2200.64981069009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10328946)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450662081672966-0.450353593075369)×R²
    abs(0.29759227-0.29682528)×0.000308488597597356×R²
    0.000766989999999967×0.000308488597597356×6371000²
    0.000766989999999967×0.000308488597597356×40589641000000     		ar = 4846247.56447853m²