Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4483 / 13035
↖ ↑ ↗
← S 72.255615°
W 81.496582°		 ← 744.64 m → S 72.255615°
W 81.474609°		 →
↑
744.45 m
↓
↑
744.45 m
↓
S 72.262310°
W 81.496582°		 ← 744.37 m →
554 247 m²		 S 72.262310°
W 81.474609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273651123046875 y=0.795623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273651123046875 × 214)
    floor (0.273651123046875 × 16384)
    floor (4483.5)     		tx = 4483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795623779296875 × 214)
    floor (0.795623779296875 × 16384)
    floor (13035.5)     		ty = 13035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4483 / 13035 ti = "14/4483/13035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4483/13035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4483 ÷ 214
    4483 ÷ 16384     		x = 0.27362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13035 ÷ 214
    13035 ÷ 16384     		y = 0.79559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.4527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42238369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.5911865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85726723887946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42238369} λ = -1.42238369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85726723887946))-π/2
    2×atan(0.156098628289967)-π/2
    2×0.154848974327374-π/2
    0.309697948654748-1.57079632675     		φ = -1.26109838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42238369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.496582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26109838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.255615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4483 KachelY 13035 -1.42238369 -1.26109838 -81.496582 -72.255615
    Oben rechts KachelX + 1 4484 KachelY 13035 -1.42200019 -1.26109838 -81.474609 -72.255615
    Unten links KachelX 4483 KachelY + 1 13036 -1.42238369 -1.26121523 -81.496582 -72.262310
    Unten rechts KachelX + 1 4484 KachelY + 1 13036 -1.42200019 -1.26121523 -81.474609 -72.262310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26109838--1.26121523) × R
    0.000116849999999946 × 6371000     		dl = 744.451349999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26109838--1.26121523) × R
    0.000116849999999946 × 6371000     		dr = 744.451349999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42238369--1.42200019) × cos(-1.26109838) × R
    0.00038349999999987 × 0.30477096712452 × 6371000     		do = 744.640351399295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42238369--1.42200019) × cos(-1.26121523) × R
    0.00038349999999987 × 0.30465967410453 × 6371000     		du = 744.368431556353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26109838)-sin(-1.26121523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30477096712452-0.30465967410453)×R²
    abs(-1.42200019--1.42238369)×0.000111293019990133×R²
    0.00038349999999987×0.000111293019990133×6371000²
    0.00038349999999987×0.000111293019990133×40589641000000     		ar = 554247.299947169m²