Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4482 / 3942
↖ ↑ ↗
← N  6.751896°
E 16.962891°		 ← 4 852.60 m → N  6.751896°
E 17.006836°		 →
↑
4 852.79 m
↓
↑
4 852.79 m
↓
N  6.708254°
E 16.962891°		 ← 4 853.04 m →
23 549 728 m²		 N  6.708254°
E 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54718017578125 y=0.48126220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54718017578125 × 213)
    floor (0.54718017578125 × 8192)
    floor (4482.5)     		tx = 4482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48126220703125 × 213)
    floor (0.48126220703125 × 8192)
    floor (3942.5)     		ty = 3942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4482 / 3942 ti = "13/4482/3942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4482/3942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4482 ÷ 213
    4482 ÷ 8192     		x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3942 ÷ 213
    3942 ÷ 8192     		y = 0.481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481201171875 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118116520663818))-π/2
    2×atan(1.12537523319721)-π/2
    2×0.844319575428413-π/2
    1.68863915085683-1.57079632675     		φ = 0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4482 KachelY 3942 0.29605829 0.11784282 16.962891 6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 4483 KachelY 3942 0.29682528 0.11784282 17.006836 6.751896
    Unten links KachelX 4482 KachelY + 1 3943 0.29605829 0.11708112 16.962891 6.708254
    Unten rechts KachelX + 1 4483 KachelY + 1 3943 0.29682528 0.11708112 17.006836 6.708254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11784282-0.11708112) × R
    0.000761700000000004 × 6371000     		dl = 4852.79070000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11784282-0.11708112) × R
    0.000761700000000004 × 6371000     		dr = 4852.79070000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29682528) × cos(0.11784282) × R
    0.000766990000000023 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 4852.60334051076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29682528) × cos(0.11708112) × R
    0.000766990000000023 × 0.993153831632787 × 6371000     		du = 4853.03953421155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11784282)-sin(0.11708112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993153831632787)×R²
    abs(0.29682528-0.29605829)×8.92651795266763e-05×R²
    0.000766990000000023×8.92651795266763e-05×6371000²
    0.000766990000000023×8.92651795266763e-05×40589641000000     		ar = 23549727.8785907m²