Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44793 / 94899
↖ ↑ ↗
← S 62.495833°
W 56.972351°		 ← 141.05 m → S 62.495833°
W 56.969604°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
S 62.497102°
W 56.972351°		 ← 141.04 m →
19 895 m²		 S 62.497102°
W 56.969604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341747283935547 y=0.724025726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341747283935547 × 217)
    floor (0.341747283935547 × 131072)
    floor (44793.5)     		tx = 44793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724025726318359 × 217)
    floor (0.724025726318359 × 131072)
    floor (94899.5)     		ty = 94899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44793 / 94899 ti = "17/44793/94899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44793/94899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44793 ÷ 217
    44793 ÷ 131072     		x = 0.341743469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94899 ÷ 217
    94899 ÷ 131072     		y = 0.724021911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341743469238281 × 2 - 1) × π
    -0.316513061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.99435511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724021911621094 × 2 - 1) × π
    -0.448043823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.40757118354371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99435511} λ = -0.99435511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40757118354371))-π/2
    2×atan(0.244736983079468)-π/2
    2×0.240019134383297-π/2
    0.480038268766594-1.57079632675     		φ = -1.09075806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99435511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.972351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09075806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.495833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44793 KachelY 94899 -0.99435511 -1.09075806 -56.972351 -62.495833
    Oben rechts KachelX + 1 44794 KachelY 94899 -0.99430717 -1.09075806 -56.969604 -62.495833
    Unten links KachelX 44793 KachelY + 1 94900 -0.99435511 -1.09078020 -56.972351 -62.497102
    Unten rechts KachelX + 1 44794 KachelY + 1 94900 -0.99430717 -1.09078020 -56.969604 -62.497102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09075806--1.09078020) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09075806--1.09078020) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99435511--0.99430717) × cos(-1.09075806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461813117656156 × 6371000     		do = 141.049613201746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99435511--0.99430717) × cos(-1.09078020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461793479866628 × 6371000     		du = 141.043615315347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09075806)-sin(-1.09078020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461813117656156-0.461793479866628)×R²
    abs(-0.99430717--0.99435511)×1.96377895282929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96377895282929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96377895282929e-05×40589641000000     		ar = 19895.1806657629m²