Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44786 / 94922
↖ ↑ ↗
← S 62.524992°
W 56.991577°		 ← 140.91 m → S 62.524992°
W 56.988831°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
S 62.526260°
W 56.991577°		 ← 140.91 m →
19 858 m²		 S 62.526260°
W 56.988831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341693878173828 y=0.724201202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341693878173828 × 217)
    floor (0.341693878173828 × 131072)
    floor (44786.5)     		tx = 44786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724201202392578 × 217)
    floor (0.724201202392578 × 131072)
    floor (94922.5)     		ty = 94922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44786 / 94922 ti = "17/44786/94922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44786/94922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44786 ÷ 217
    44786 ÷ 131072     		x = 0.341690063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94922 ÷ 217
    94922 ÷ 131072     		y = 0.724197387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341690063476562 × 2 - 1) × π
    -0.316619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99469067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724197387695312 × 2 - 1) × π
    -0.448394775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40867373223497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99469067} λ = -0.99469067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40867373223497))-π/2
    2×atan(0.244467297337221)-π/2
    2×0.239764673112734-π/2
    0.479529346225468-1.57079632675     		φ = -1.09126698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99469067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.991577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09126698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.524992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44786 KachelY 94922 -0.99469067 -1.09126698 -56.991577 -62.524992
    Oben rechts KachelX + 1 44787 KachelY 94922 -0.99464273 -1.09126698 -56.988831 -62.524992
    Unten links KachelX 44786 KachelY + 1 94923 -0.99469067 -1.09128910 -56.991577 -62.526260
    Unten rechts KachelX + 1 44787 KachelY + 1 94923 -0.99464273 -1.09128910 -56.988831 -62.526260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09126698--1.09128910) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09126698--1.09128910) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99469067--0.99464273) × cos(-1.09126698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461361657408202 × 6371000     		do = 140.911725621434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99469067--0.99464273) × cos(-1.09128910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461342032162301 × 6371000     		du = 140.905731566182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09126698)-sin(-1.09128910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461361657408202-0.461342032162301)×R²
    abs(-0.99464273--0.99469067)×1.96252459009894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96252459009894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96252459009894e-05×40589641000000     		ar = 19857.776759082m²