Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44784 / 94923
↖ ↑ ↗
← S 62.526260°
W 56.997070°		 ← 140.91 m → S 62.526260°
W 56.994324°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
S 62.527526°
W 56.997070°		 ← 140.90 m →
19 848 m²		 S 62.527526°
W 56.994324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341678619384766 y=0.724208831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341678619384766 × 217)
    floor (0.341678619384766 × 131072)
    floor (44784.5)     		tx = 44784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724208831787109 × 217)
    floor (0.724208831787109 × 131072)
    floor (94923.5)     		ty = 94923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44784 / 94923 ti = "17/44784/94923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44784/94923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44784 ÷ 217
    44784 ÷ 131072     		x = 0.3416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94923 ÷ 217
    94923 ÷ 131072     		y = 0.724205017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99478654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724205017089844 × 2 - 1) × π
    -0.448410034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40872166913459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99478654} λ = -0.99478654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40872166913459))-π/2
    2×atan(0.24445557861381)-π/2
    2×0.239753615224166-π/2
    0.479507230448331-1.57079632675     		φ = -1.09128910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99478654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09128910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.526260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44784 KachelY 94923 -0.99478654 -1.09128910 -56.997070 -62.526260
    Oben rechts KachelX + 1 44785 KachelY 94923 -0.99473860 -1.09128910 -56.994324 -62.526260
    Unten links KachelX 44784 KachelY + 1 94924 -0.99478654 -1.09131121 -56.997070 -62.527526
    Unten rechts KachelX + 1 44785 KachelY + 1 94924 -0.99473860 -1.09131121 -56.994324 -62.527526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09128910--1.09131121) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09128910--1.09131121) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99478654--0.99473860) × cos(-1.09128910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461342032162301 × 6371000     		do = 140.905731566182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99478654--0.99473860) × cos(-1.09131121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461322415562994 × 6371000     		du = 140.899740151822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09128910)-sin(-1.09131121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461342032162301-0.461322415562994)×R²
    abs(-0.99473860--0.99478654)×1.96165993073816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96165993073816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96165993073816e-05×40589641000000     		ar = 19847.9553104077m²