Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44782 / 94902
↖ ↑ ↗
← S 62.499638°
W 57.002563°		 ← 141 m → S 62.499638°
W 56.999817°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.500906°
W 57.002563°		 ← 141 m →
19 880 m²		 S 62.500906°
W 56.999817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341663360595703 y=0.724048614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341663360595703 × 217)
    floor (0.341663360595703 × 131072)
    floor (44782.5)     		tx = 44782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724048614501953 × 217)
    floor (0.724048614501953 × 131072)
    floor (94902.5)     		ty = 94902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44782 / 94902 ti = "17/44782/94902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44782/94902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44782 ÷ 217
    44782 ÷ 131072     		x = 0.341659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94902 ÷ 217
    94902 ÷ 131072     		y = 0.724044799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341659545898438 × 2 - 1) × π
    -0.316680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99488241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.448089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40771499424257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99488241} λ = -0.99488241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40771499424257))-π/2
    2×atan(0.244701789813539)-π/2
    2×0.239985929667388-π/2
    0.479971859334776-1.57079632675     		φ = -1.09082447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99488241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.002563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09082447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.499638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44782 KachelY 94902 -0.99488241 -1.09082447 -57.002563 -62.499638
    Oben rechts KachelX + 1 44783 KachelY 94902 -0.99483448 -1.09082447 -56.999817 -62.499638
    Unten links KachelX 44782 KachelY + 1 94903 -0.99488241 -1.09084660 -57.002563 -62.500906
    Unten rechts KachelX + 1 44783 KachelY + 1 94903 -0.99483448 -1.09084660 -56.999817 -62.500906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09082447--1.09084660) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09082447--1.09084660) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99488241--0.99483448) × cos(-1.09082447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461754212478575 × 6371000     		do = 141.002203683595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99488241--0.99483448) × cos(-1.09084660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461734582880274 × 6371000     		du = 140.99620954961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09082447)-sin(-1.09084660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461754212478575-0.461734582880274)×R²
    abs(-0.99483448--0.99488241)×1.96295983010963e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96295983010963e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96295983010963e-05×40589641000000     		ar = 19879.510571599m²