Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4477 / 3945
↖ ↑ ↗
← N  6.620957°
E 16.743164°		 ← 4 853.90 m → N  6.620957°
E 16.787109°		 →
↑
4 854.06 m
↓
↑
4 854.06 m
↓
N  6.577303°
E 16.743164°		 ← 4 854.33 m →
23 562 203 m²		 N  6.577303°
E 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54656982421875 y=0.48162841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54656982421875 × 213)
    floor (0.54656982421875 × 8192)
    floor (4477.5)     		tx = 4477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48162841796875 × 213)
    floor (0.48162841796875 × 8192)
    floor (3945.5)     		ty = 3945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4477 / 3945 ti = "13/4477/3945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4477/3945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4477 ÷ 213
    4477 ÷ 8192     		x = 0.5465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3945 ÷ 213
    3945 ÷ 8192     		y = 0.4815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5465087890625 × 2 - 1) × π
    0.093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29222334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4815673828125 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29222334} λ = 0.29222334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115815549482056))-π/2
    2×atan(1.1227887540651)-π/2
    2×0.84317691539633-π/2
    1.68635383079266-1.57079632675     		φ = 0.11555750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29222334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.743164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11555750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.620957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4477 KachelY 3945 0.29222334 0.11555750 16.743164 6.620957
    Oben rechts KachelX + 1 4478 KachelY 3945 0.29299033 0.11555750 16.787109 6.620957
    Unten links KachelX 4477 KachelY + 1 3946 0.29222334 0.11479560 16.743164 6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 4478 KachelY + 1 3946 0.29299033 0.11479560 16.787109 6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11555750-0.11479560) × R
    0.000761899999999996 × 6371000     		dl = 4854.06489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11555750-0.11479560) × R
    0.000761899999999996 × 6371000     		dr = 4854.06489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29222334-0.29299033) × cos(0.11555750) × R
    0.000766990000000023 × 0.9933306586621 × 6371000     		do = 4853.90359830378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29222334-0.29299033) × cos(0.11479560) × R
    0.000766990000000023 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 4854.33145537256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11555750)-sin(0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9933306586621-0.993418217785461)×R²
    abs(0.29299033-0.29222334)×8.75591233607809e-05×R²
    0.000766990000000023×8.75591233607809e-05×6371000²
    0.000766990000000023×8.75591233607809e-05×40589641000000     		ar = 23562202.6473052m²