Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4475 / 3950
↖ ↑ ↗
← N  6.402649°
E 16.655273°		 ← 4 856.02 m → N  6.402649°
E 16.699219°		 →
↑
4 856.23 m
↓
↑
4 856.23 m
↓
N  6.358976°
E 16.655273°		 ← 4 856.43 m →
23 582 937 m²		 N  6.358976°
E 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54632568359375 y=0.48223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54632568359375 × 213)
    floor (0.54632568359375 × 8192)
    floor (4475.5)     		tx = 4475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48223876953125 × 213)
    floor (0.48223876953125 × 8192)
    floor (3950.5)     		ty = 3950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4475 / 3950 ti = "13/4475/3950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4475/3950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4475 ÷ 213
    4475 ÷ 8192     		x = 0.5462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3950 ÷ 213
    3950 ÷ 8192     		y = 0.482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5462646484375 × 2 - 1) × π
    0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.111980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29068936} λ = 0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111980597512451))-π/2
    2×atan(1.11849115892373)-π/2
    2×0.841271811161676-π/2
    1.68254362232335-1.57079632675     		φ = 0.11174730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11174730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.402649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4475 KachelY 3950 0.29068936 0.11174730 16.655273 6.402649
    Oben rechts KachelX + 1 4476 KachelY 3950 0.29145635 0.11174730 16.699219 6.402649
    Unten links KachelX 4475 KachelY + 1 3951 0.29068936 0.11098506 16.655273 6.358976
    Unten rechts KachelX + 1 4476 KachelY + 1 3951 0.29145635 0.11098506 16.699219 6.358976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11174730-0.11098506) × R
    0.000762239999999997 × 6371000     		dl = 4856.23103999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11174730-0.11098506) × R
    0.000762239999999997 × 6371000     		dr = 4856.23103999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29068936-0.29145635) × cos(0.11174730) × R
    0.000766989999999967 × 0.993762765127179 × 6371000     		do = 4856.0150836456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29068936-0.29145635) × cos(0.11098506) × R
    0.000766989999999967 × 0.99384747752193 × 6371000     		du = 4856.42903019413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11174730)-sin(0.11098506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993762765127179-0.99384747752193)×R²
    abs(0.29145635-0.29068936)×8.47123947509409e-05×R²
    0.000766989999999967×8.47123947509409e-05×6371000²
    0.000766989999999967×8.47123947509409e-05×40589641000000     		ar = 23582937.431773m²