Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4474 / 3947
↖ ↑ ↗
← N  6.533645°
E 16.611328°		 ← 4 854.76 m → N  6.533645°
E 16.655273°		 →
↑
4 854.96 m
↓
↑
4 854.96 m
↓
N  6.489983°
E 16.611328°		 ← 4 855.18 m →
23 570 660 m²		 N  6.489983°
E 16.655273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54620361328125 y=0.48187255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54620361328125 × 213)
    floor (0.54620361328125 × 8192)
    floor (4474.5)     		tx = 4474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48187255859375 × 213)
    floor (0.48187255859375 × 8192)
    floor (3947.5)     		ty = 3947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4474 / 3947 ti = "13/4474/3947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4474/3947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4474 ÷ 213
    4474 ÷ 8192     		x = 0.546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3947 ÷ 213
    3947 ÷ 8192     		y = 0.4818115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546142578125 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4818115234375 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.114281568694214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28992237} λ = 0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.114281568694214))-π/2
    2×atan(1.1210677380278)-π/2
    2×0.842414973238475-π/2
    1.68482994647695-1.57079632675     		φ = 0.11403362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11403362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.533645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4474 KachelY 3947 0.28992237 0.11403362 16.611328 6.533645
    Oben rechts KachelX + 1 4475 KachelY 3947 0.29068936 0.11403362 16.655273 6.533645
    Unten links KachelX 4474 KachelY + 1 3948 0.28992237 0.11327158 16.611328 6.489983
    Unten rechts KachelX + 1 4475 KachelY + 1 3948 0.29068936 0.11327158 16.655273 6.489983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11403362-0.11327158) × R
    0.000762040000000005 × 6371000     		dl = 4854.95684000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11403362-0.11327158) × R
    0.000762040000000005 × 6371000     		dr = 4854.95684000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28992237-0.29068936) × cos(0.11403362) × R
    0.000766990000000023 × 0.993505209340843 × 6371000     		do = 4854.75653902422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28992237-0.29068936) × cos(0.11327158) × R
    0.000766990000000023 × 0.993591630835469 × 6371000     		du = 4855.17883707782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11403362)-sin(0.11327158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993505209340843-0.993591630835469)×R²
    abs(0.29068936-0.28992237)×8.64214946256769e-05×R²
    0.000766990000000023×8.64214946256769e-05×6371000²
    0.000766990000000023×8.64214946256769e-05×40589641000000     		ar = 23570659.7257155m²