Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4473 / 3952
↖ ↑ ↗
← N  6.315298°
E 16.567383°		 ← 4 856.84 m → N  6.315298°
E 16.611328°		 →
↑
4 857.06 m
↓
↑
4 857.06 m
↓
N  6.271618°
E 16.567383°		 ← 4 857.25 m →
23 590 954 m²		 N  6.271618°
E 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54608154296875 y=0.48248291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54608154296875 × 213)
    floor (0.54608154296875 × 8192)
    floor (4473.5)     		tx = 4473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48248291015625 × 213)
    floor (0.48248291015625 × 8192)
    floor (3952.5)     		ty = 3952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4473 / 3952 ti = "13/4473/3952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4473/3952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4473 ÷ 213
    4473 ÷ 8192     		x = 0.5460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3952 ÷ 213
    3952 ÷ 8192     		y = 0.482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5460205078125 × 2 - 1) × π
    0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482421875 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28915538} λ = 0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110446616724609))-π/2
    2×atan(1.11677673026107)-π/2
    2×0.840509539766002-π/2
    1.681019079532-1.57079632675     		φ = 0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4473 KachelY 3952 0.28915538 0.11022275 16.567383 6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 4474 KachelY 3952 0.28992237 0.11022275 16.611328 6.315298
    Unten links KachelX 4473 KachelY + 1 3953 0.28915538 0.10946038 16.567383 6.271618
    Unten rechts KachelX + 1 4474 KachelY + 1 3953 0.28992237 0.10946038 16.611328 6.271618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11022275-0.10946038) × R
    0.000762369999999998 × 6371000     		dl = 4857.05926999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11022275-0.10946038) × R
    0.000762369999999998 × 6371000     		dr = 4857.05926999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28915538-0.28992237) × cos(0.11022275) × R
    0.000766989999999967 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 4856.84019273576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28915538-0.28992237) × cos(0.10946038) × R
    0.000766989999999967 × 0.994015191805612 × 6371000     		du = 4857.24856491598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11022275)-sin(0.10946038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.994015191805612)×R²
    abs(0.28992237-0.28915538)×8.35716240639162e-05×R²
    0.000766989999999967×8.35716240639162e-05×6371000²
    0.000766989999999967×8.35716240639162e-05×40589641000000     		ar = 23590953.5675819m²