Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4473 / 3367
↖ ↑ ↗
← N 80.577144°
W130.858155°		 ← 200.01 m → N 80.577144°
W130.847168°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 80.575346°
W130.858155°		 ← 200.04 m →
40 002 m²		 N 80.575346°
W130.847168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136520385742188 y=0.102767944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136520385742188 × 215)
    floor (0.136520385742188 × 32768)
    floor (4473.5)     		tx = 4473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102767944335938 × 215)
    floor (0.102767944335938 × 32768)
    floor (3367.5)     		ty = 3367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4473 / 3367 ti = "15/4473/3367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4473/3367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4473 ÷ 215
    4473 ÷ 32768     		x = 0.136505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3367 ÷ 215
    3367 ÷ 32768     		y = 0.102752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.72698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.28390565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102752685546875 × 2 - 1) × π
    0.79449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49597848941708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28390565} λ = -2.28390565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49597848941708))-π/2
    2×atan(12.1336003113729)-π/2
    2×1.48856640019163-π/2
    2.97713280038326-1.57079632675     		φ = 1.40633647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28390565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.858155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40633647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.577144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4473 KachelY 3367 -2.28390565 1.40633647 -130.858155 80.577144
    Oben rechts KachelX + 1 4474 KachelY 3367 -2.28371390 1.40633647 -130.847168 80.577144
    Unten links KachelX 4473 KachelY + 1 3368 -2.28390565 1.40630508 -130.858155 80.575346
    Unten rechts KachelX + 1 4474 KachelY + 1 3368 -2.28371390 1.40630508 -130.847168 80.575346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40633647-1.40630508) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40633647-1.40630508) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28390565--2.28371390) × cos(1.40633647) × R
    0.000191749999999935 × 0.163719499883667 × 6371000     		do = 200.00616704819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28390565--2.28371390) × cos(1.40630508) × R
    0.000191749999999935 × 0.163750466255574 × 6371000     		du = 200.043996783542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40633647)-sin(1.40630508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163719499883667-0.163750466255574)×R²
    abs(-2.28371390--2.28390565)×3.09663719070541e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09663719070541e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09663719070541e-05×40589641000000     		ar = 40002.1540279768m²