Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4473 / 2695
↖ ↑ ↗
← N 76.148220°
W 81.716309°		 ← 584.95 m → N 76.148220°
W 81.694336°		 →
↑
585.05 m
↓
↑
585.05 m
↓
N 76.142959°
W 81.716309°		 ← 585.17 m →
342 287 m²		 N 76.142959°
W 81.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273040771484375 y=0.164520263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273040771484375 × 214)
    floor (0.273040771484375 × 16384)
    floor (4473.5)     		tx = 4473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164520263671875 × 214)
    floor (0.164520263671875 × 16384)
    floor (2695.5)     		ty = 2695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4473 / 2695 ti = "14/4473/2695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4473/2695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4473 ÷ 214
    4473 ÷ 16384     		x = 0.27301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2695 ÷ 214
    2695 ÷ 16384     		y = 0.16448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.4539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42621864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16448974609375 × 2 - 1) × π
    0.6710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10807309769159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42621864} λ = -1.42621864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10807309769159))-π/2
    2×atan(8.23236303228846)-π/2
    2×1.4499167421331-π/2
    2.89983348426621-1.57079632675     		φ = 1.32903716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42621864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.716309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32903716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.148220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4473 KachelY 2695 -1.42621864 1.32903716 -81.716309 76.148220
    Oben rechts KachelX + 1 4474 KachelY 2695 -1.42583514 1.32903716 -81.694336 76.148220
    Unten links KachelX 4473 KachelY + 1 2696 -1.42621864 1.32894533 -81.716309 76.142959
    Unten rechts KachelX + 1 4474 KachelY + 1 2696 -1.42583514 1.32894533 -81.694336 76.142959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32903716-1.32894533) × R
    9.18299999999039e-05 × 6371000     		dl = 585.048929999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32903716-1.32894533) × R
    9.18299999999039e-05 × 6371000     		dr = 585.048929999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42621864--1.42583514) × cos(1.32903716) × R
    0.000383500000000092 × 0.239411003252545 × 6371000     		do = 584.947756910513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42621864--1.42583514) × cos(1.32894533) × R
    0.000383500000000092 × 0.239500161671703 × 6371000     		du = 585.165595759137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32903716)-sin(1.32894533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239411003252545-0.239500161671703)×R²
    abs(-1.42583514--1.42621864)×8.91584191583805e-05×R²
    0.000383500000000092×8.91584191583805e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.91584191583805e-05×40589641000000     		ar = 342286.782719251m²