Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4472 / 3368
↖ ↑ ↗
← N 80.575346°
W130.869140°		 ← 200.03 m → N 80.575346°
W130.858155°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 80.573547°
W130.869140°		 ← 200.07 m →
40 020 m²		 N 80.573547°
W130.858155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136489868164062 y=0.102798461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136489868164062 × 215)
    floor (0.136489868164062 × 32768)
    floor (4472.5)     		tx = 4472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102798461914062 × 215)
    floor (0.102798461914062 × 32768)
    floor (3368.5)     		ty = 3368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4472 / 3368 ti = "15/4472/3368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4472/3368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4472 ÷ 215
    4472 ÷ 32768     		x = 0.136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3368 ÷ 215
    3368 ÷ 32768     		y = 0.102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.72705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28409739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102783203125 × 2 - 1) × π
    0.79443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4957867418186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28409739} λ = -2.28409739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4957867418186))-π/2
    2×atan(12.1312739456969)-π/2
    2×1.48855070229685-π/2
    2.9771014045937-1.57079632675     		φ = 1.40630508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28409739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.869140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40630508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.575346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4472 KachelY 3368 -2.28409739 1.40630508 -130.869140 80.575346
    Oben rechts KachelX + 1 4473 KachelY 3368 -2.28390565 1.40630508 -130.858155 80.575346
    Unten links KachelX 4472 KachelY + 1 3369 -2.28409739 1.40627368 -130.869140 80.573547
    Unten rechts KachelX + 1 4473 KachelY + 1 3369 -2.28390565 1.40627368 -130.858155 80.573547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40630508-1.40627368) × R
    3.14000000001258e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40630508-1.40627368) × R
    3.14000000001258e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28409739--2.28390565) × cos(1.40630508) × R
    0.000191739999999996 × 0.163750466255574 × 6371000     		do = 200.0335642414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28409739--2.28390565) × cos(1.40627368) × R
    0.000191739999999996 × 0.163781442331099 × 6371000     		du = 200.071403857587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40630508)-sin(1.40627368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163750466255574-0.163781442331099)×R²
    abs(-2.28390565--2.28409739)×3.09760755251021e-05×R²
    0.000191739999999996×3.09760755251021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.09760755251021e-05×40589641000000     		ar = 40020.3794061234m²