Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4472 / 2694
↖ ↑ ↗
← N 76.153479°
W 81.738281°		 ← 584.71 m → N 76.153479°
W 81.716309°		 →
↑
584.79 m
↓
↑
584.79 m
↓
N 76.148220°
W 81.738281°		 ← 584.93 m →
342 001 m²		 N 76.148220°
W 81.716309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272979736328125 y=0.164459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272979736328125 × 214)
    floor (0.272979736328125 × 16384)
    floor (4472.5)     		tx = 4472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164459228515625 × 214)
    floor (0.164459228515625 × 16384)
    floor (2694.5)     		ty = 2694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4472 / 2694 ti = "14/4472/2694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4472/2694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4472 ÷ 214
    4472 ÷ 16384     		x = 0.27294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2694 ÷ 214
    2694 ÷ 16384     		y = 0.1644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42660213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1644287109375 × 2 - 1) × π
    0.671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10845659288855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42660213} λ = -1.42660213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10845659288855))-π/2
    2×atan(8.23552070940928)-π/2
    2×1.44996264007303-π/2
    2.89992528014605-1.57079632675     		φ = 1.32912895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42660213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.738281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32912895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.153479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4472 KachelY 2694 -1.42660213 1.32912895 -81.738281 76.153479
    Oben rechts KachelX + 1 4473 KachelY 2694 -1.42621864 1.32912895 -81.716309 76.153479
    Unten links KachelX 4472 KachelY + 1 2695 -1.42660213 1.32903716 -81.738281 76.148220
    Unten rechts KachelX + 1 4473 KachelY + 1 2695 -1.42621864 1.32903716 -81.716309 76.148220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32912895-1.32903716) × R
    9.1790000000147e-05 × 6371000     		dl = 584.794090000937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32912895-1.32903716) × R
    9.1790000000147e-05 × 6371000     		dr = 584.794090000937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42660213--1.42621864) × cos(1.32912895) × R
    0.000383489999999931 × 0.239321881652105 × 6371000     		do = 584.714760822947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42660213--1.42621864) × cos(1.32903716) × R
    0.000383489999999931 × 0.239411003252545 × 6371000     		du = 584.93250403525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32912895)-sin(1.32903716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239321881652105-0.239411003252545)×R²
    abs(-1.42621864--1.42660213)×8.91216004398898e-05×R²
    0.000383489999999931×8.91216004398898e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.91216004398898e-05×40589641000000     		ar = 342001.404178305m²