Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4470 / 3949
↖ ↑ ↗
← N  6.446318°
E 16.435547°		 ← 4 855.60 m → N  6.446318°
E 16.479492°		 →
↑
4 855.79 m
↓
↑
4 855.79 m
↓
N  6.402649°
E 16.435547°		 ← 4 856.02 m →
23 578 755 m²		 N  6.402649°
E 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54571533203125 y=0.48211669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54571533203125 × 213)
    floor (0.54571533203125 × 8192)
    floor (4470.5)     		tx = 4470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48211669921875 × 213)
    floor (0.48211669921875 × 8192)
    floor (3949.5)     		ty = 3949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4470 / 3949 ti = "13/4470/3949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4470/3949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4470 ÷ 213
    4470 ÷ 8192     		x = 0.545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3949 ÷ 213
    3949 ÷ 8192     		y = 0.4820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545654296875 × 2 - 1) × π
    0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4820556640625 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.112747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28685441} λ = 0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112747587906372))-π/2
    2×atan(1.11934935997222)-π/2
    2×0.841652898074741-π/2
    1.68330579614948-1.57079632675     		φ = 0.11250947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11250947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.446318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4470 KachelY 3949 0.28685441 0.11250947 16.435547 6.446318
    Oben rechts KachelX + 1 4471 KachelY 3949 0.28762140 0.11250947 16.479492 6.446318
    Unten links KachelX 4470 KachelY + 1 3950 0.28685441 0.11174730 16.435547 6.402649
    Unten rechts KachelX + 1 4471 KachelY + 1 3950 0.28762140 0.11174730 16.479492 6.402649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11250947-0.11174730) × R
    0.000762170000000006 × 6371000     		dl = 4855.78507000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11250947-0.11174730) × R
    0.000762170000000006 × 6371000     		dr = 4855.78507000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28685441-0.28762140) × cos(0.11250947) × R
    0.000766990000000023 × 0.993677483205593 × 6371000     		do = 4855.59835410836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28685441-0.28762140) × cos(0.11174730) × R
    0.000766990000000023 × 0.993762765127179 × 6371000     		du = 4856.01508364595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11250947)-sin(0.11174730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993677483205593-0.993762765127179)×R²
    abs(0.28762140-0.28685441)×8.52819215854117e-05×R²
    0.000766990000000023×8.52819215854117e-05×6371000²
    0.000766990000000023×8.52819215854117e-05×40589641000000     		ar = 23578754.9097439m²