Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 447 / 632
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 22.851562°		 ← 30.456 km → S 38.822591°
W 22.500000°		 →
↑
30.398 km
↓
↑
30.398 km
↓
S 39.095963°
W 22.851562°		 ← 30.339 km →
924.013 km²		 S 39.095963°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43701171875 y=0.61767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43701171875 × 210)
    floor (0.43701171875 × 1024)
    floor (447.5)     		tx = 447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61767578125 × 210)
    floor (0.61767578125 × 1024)
    floor (632.5)     		ty = 632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 447 / 632 ti = "10/447/632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/447/632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 447 ÷ 210
    447 ÷ 1024     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 632 ÷ 210
    632 ÷ 1024     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 447 KachelY 632 -0.39883500 -0.67758204 -22.851562 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 448 KachelY 632 -0.39269908 -0.67758204 -22.500000 -38.822591
    Unten links KachelX 447 KachelY + 1 633 -0.39883500 -0.68235328 -22.851562 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 448 KachelY + 1 633 -0.39269908 -0.68235328 -22.500000 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.68235328) × R
    0.00477123999999995 × 6371000     		dl = 30397.5700399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.68235328) × R
    0.00477123999999995 × 6371000     		dr = 30397.5700399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.67758204) × R
    0.00613592000000002 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 30456.1773191215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.68235328) × R
    0.00613592000000002 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 30338.9014958058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.39269908--0.39883500)×0.0029999995998069×R²
    0.00613592000000002×0.0029999995998069×6371000²
    0.00613592000000002×0.0029999995998069×40589641000000     		ar = 924013086.091804m²