Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44691 / 94642
↖ ↑ ↗
← S 62.168067°
W 57.252502°		 ← 142.57 m → S 62.168067°
W 57.249756°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.169349°
W 57.252502°		 ← 142.56 m →
20 327 m²		 S 62.169349°
W 57.249756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340969085693359 y=0.722064971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340969085693359 × 217)
    floor (0.340969085693359 × 131072)
    floor (44691.5)     		tx = 44691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722064971923828 × 217)
    floor (0.722064971923828 × 131072)
    floor (94642.5)     		ty = 94642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44691 / 94642 ti = "17/44691/94642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44691/94642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44691 ÷ 217
    44691 ÷ 131072     		x = 0.340965270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94642 ÷ 217
    94642 ÷ 131072     		y = 0.722061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340965270996094 × 2 - 1) × π
    -0.318069458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.99924467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.444122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39525140034135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99924467} λ = -0.99924467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39525140034135))-π/2
    2×atan(0.247770738888419)-π/2
    2×0.242879436992485-π/2
    0.485758873984971-1.57079632675     		φ = -1.08503745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99924467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.252502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08503745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.168067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44691 KachelY 94642 -0.99924467 -1.08503745 -57.252502 -62.168067
    Oben rechts KachelX + 1 44692 KachelY 94642 -0.99919674 -1.08503745 -57.249756 -62.168067
    Unten links KachelX 44691 KachelY + 1 94643 -0.99924467 -1.08505983 -57.252502 -62.169349
    Unten rechts KachelX + 1 44692 KachelY + 1 94643 -0.99919674 -1.08505983 -57.249756 -62.169349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08503745--1.08505983) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dl = 142.582980000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08503745--1.08505983) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dr = 142.582980000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99924467--0.99919674) × cos(-1.08503745) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.466879584430849 × 6371000     		do = 142.567297667118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99924467--0.99919674) × cos(-1.08505983) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.466859793212194 × 6371000     		du = 142.561254180413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08503745)-sin(-1.08505983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466879584430849-0.466859793212194)×R²
    abs(-0.99919674--0.99924467)×1.97912186553628e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.97912186553628e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.97912186553628e-05×40589641000000     		ar = 20327.2393036733m²