Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44689 / 94641
↖ ↑ ↗
← S 62.166784°
W 57.257996°		 ← 142.60 m → S 62.166784°
W 57.255249°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.168067°
W 57.257996°		 ← 142.60 m →
20 332 m²		 S 62.168067°
W 57.255249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340953826904297 y=0.722057342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340953826904297 × 217)
    floor (0.340953826904297 × 131072)
    floor (44689.5)     		tx = 44689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722057342529297 × 217)
    floor (0.722057342529297 × 131072)
    floor (94641.5)     		ty = 94641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44689 / 94641 ti = "17/44689/94641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44689/94641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44689 ÷ 217
    44689 ÷ 131072     		x = 0.340950012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94641 ÷ 217
    94641 ÷ 131072     		y = 0.722053527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340950012207031 × 2 - 1) × π
    -0.318099975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.99934055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722053527832031 × 2 - 1) × π
    -0.444107055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.39520346344173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99934055} λ = -0.99934055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39520346344173))-π/2
    2×atan(0.247782616534144)-π/2
    2×0.242890627609504-π/2
    0.485781255219008-1.57079632675     		φ = -1.08501507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99934055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.257996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08501507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.166784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44689 KachelY 94641 -0.99934055 -1.08501507 -57.257996 -62.166784
    Oben rechts KachelX + 1 44690 KachelY 94641 -0.99929261 -1.08501507 -57.255249 -62.166784
    Unten links KachelX 44689 KachelY + 1 94642 -0.99934055 -1.08503745 -57.257996 -62.168067
    Unten rechts KachelX + 1 44690 KachelY + 1 94642 -0.99929261 -1.08503745 -57.255249 -62.168067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08501507--1.08503745) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dl = 142.58297999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08501507--1.08503745) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dr = 142.58297999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99934055--0.99929261) × cos(-1.08501507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466899375415661 × 6371000     		do = 142.603087241773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99934055--0.99929261) × cos(-1.08503745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466879584430849 × 6371000     		du = 142.597042565591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08501507)-sin(-1.08503745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466899375415661-0.466879584430849)×R²
    abs(-0.99929261--0.99934055)×1.97909848117517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97909848117517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97909848117517e-05×40589641000000     		ar = 20332.3422029861m²