Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44688 / 95664
↖ ↑ ↗
← S 63.450509°
W 57.260742°		 ← 136.49 m → S 63.450509°
W 57.257996°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.451737°
W 57.260742°		 ← 136.48 m →
18 626 m²		 S 63.451737°
W 57.257996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340946197509766 y=0.729862213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340946197509766 × 217)
    floor (0.340946197509766 × 131072)
    floor (44688.5)     		tx = 44688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729862213134766 × 217)
    floor (0.729862213134766 × 131072)
    floor (95664.5)     		ty = 95664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44688 / 95664 ti = "17/44688/95664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44688/95664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44688 ÷ 217
    44688 ÷ 131072     		x = 0.3409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95664 ÷ 217
    95664 ÷ 131072     		y = 0.7298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99938848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99938848} λ = -0.99938848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44424291175305))-π/2
    2×atan(0.235924624719518)-π/2
    2×0.231688014446108-π/2
    0.463376028892216-1.57079632675     		φ = -1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99938848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44688 KachelY 95664 -0.99938848 -1.10742030 -57.260742 -63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 44689 KachelY 95664 -0.99934055 -1.10742030 -57.257996 -63.450509
    Unten links KachelX 44688 KachelY + 1 95665 -0.99938848 -1.10744172 -57.260742 -63.451737
    Unten rechts KachelX + 1 44689 KachelY + 1 95665 -0.99934055 -1.10744172 -57.257996 -63.451737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10742030--1.10744172) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10742030--1.10744172) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99938848--0.99934055) × cos(-1.10742030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 136.487870683958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99938848--0.99934055) × cos(-1.10744172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44695150716701 × 6371000     		du = 136.482019540161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10742030)-sin(-1.10744172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.44695150716701)×R²
    abs(-0.99934055--0.99938848)×1.91613338334506e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91613338334506e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91613338334506e-05×40589641000000     		ar = 18625.6664380961m²