Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44685 / 94603
↖ ↑ ↗
← S 62.118015°
W 57.268982°		 ← 142.80 m → S 62.118015°
W 57.266236°		 →
↑
142.84 m
↓
↑
142.84 m
↓
S 62.119299°
W 57.268982°		 ← 142.80 m →
20 397 m²		 S 62.119299°
W 57.266236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340923309326172 y=0.721767425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340923309326172 × 217)
    floor (0.340923309326172 × 131072)
    floor (44685.5)     		tx = 44685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721767425537109 × 217)
    floor (0.721767425537109 × 131072)
    floor (94603.5)     		ty = 94603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44685 / 94603 ti = "17/44685/94603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44685/94603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44685 ÷ 217
    44685 ÷ 131072     		x = 0.340919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94603 ÷ 217
    94603 ÷ 131072     		y = 0.721763610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.318161010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.99953229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721763610839844 × 2 - 1) × π
    -0.443527221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.39338186125617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99953229} λ = -0.99953229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39338186125617))-π/2
    2×atan(0.248234389240118)-π/2
    2×0.24331622271368-π/2
    0.48663244542736-1.57079632675     		φ = -1.08416388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99953229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08416388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.118015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44685 KachelY 94603 -0.99953229 -1.08416388 -57.268982 -62.118015
    Oben rechts KachelX + 1 44686 KachelY 94603 -0.99948436 -1.08416388 -57.266236 -62.118015
    Unten links KachelX 44685 KachelY + 1 94604 -0.99953229 -1.08418630 -57.268982 -62.119299
    Unten rechts KachelX + 1 44686 KachelY + 1 94604 -0.99948436 -1.08418630 -57.266236 -62.119299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08416388--1.08418630) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dl = 142.8378200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08416388--1.08418630) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dr = 142.8378200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99953229--0.99948436) × cos(-1.08416388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46765192239732 × 6371000     		do = 142.803140356735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99953229--0.99948436) × cos(-1.08418630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467632104956822 × 6371000     		du = 142.797088862876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08416388)-sin(-1.08418630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46765192239732-0.467632104956822)×R²
    abs(-0.99948436--0.99953229)×1.98174404981155e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98174404981155e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98174404981155e-05×40589641000000     		ar = 20397.2570675907m²