Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44685 / 94600
↖ ↑ ↗
← S 62.114161°
W 57.268982°		 ← 142.82 m → S 62.114161°
W 57.266236°		 →
↑
142.84 m
↓
↑
142.84 m
↓
S 62.115445°
W 57.268982°		 ← 142.82 m →
20 400 m²		 S 62.115445°
W 57.266236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340923309326172 y=0.721744537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340923309326172 × 217)
    floor (0.340923309326172 × 131072)
    floor (44685.5)     		tx = 44685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721744537353516 × 217)
    floor (0.721744537353516 × 131072)
    floor (94600.5)     		ty = 94600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44685 / 94600 ti = "17/44685/94600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44685/94600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44685 ÷ 217
    44685 ÷ 131072     		x = 0.340919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94600 ÷ 217
    94600 ÷ 131072     		y = 0.72174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.318161010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.99953229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39323805055731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99953229} λ = -0.99953229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39323805055731))-π/2
    2×atan(0.24827009056817)-π/2
    2×0.243349851525796-π/2
    0.486699703051592-1.57079632675     		φ = -1.08409662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99953229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08409662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.114161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44685 KachelY 94600 -0.99953229 -1.08409662 -57.268982 -62.114161
    Oben rechts KachelX + 1 44686 KachelY 94600 -0.99948436 -1.08409662 -57.266236 -62.114161
    Unten links KachelX 44685 KachelY + 1 94601 -0.99953229 -1.08411904 -57.268982 -62.115445
    Unten rechts KachelX + 1 44686 KachelY + 1 94601 -0.99948436 -1.08411904 -57.266236 -62.115445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08409662--1.08411904) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dl = 142.8378200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08409662--1.08411904) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dr = 142.8378200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99953229--0.99948436) × cos(-1.08409662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467711373308364 × 6371000     		do = 142.821294407617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99953229--0.99948436) × cos(-1.08411904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467691556573101 × 6371000     		du = 142.815243129109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08409662)-sin(-1.08411904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467711373308364-0.467691556573101)×R²
    abs(-0.99948436--0.99953229)×1.98167352634671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98167352634671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98167352634671e-05×40589641000000     		ar = 20399.8501680556m²