Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44684 / 94606
↖ ↑ ↗
← S 62.121868°
W 57.271728°		 ← 142.81 m → S 62.121868°
W 57.268982°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
S 62.123152°
W 57.271728°		 ← 142.81 m →
20 390 m²		 S 62.123152°
W 57.268982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340915679931641 y=0.721790313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340915679931641 × 217)
    floor (0.340915679931641 × 131072)
    floor (44684.5)     		tx = 44684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721790313720703 × 217)
    floor (0.721790313720703 × 131072)
    floor (94606.5)     		ty = 94606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44684 / 94606 ti = "17/44684/94606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44684/94606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44684 ÷ 217
    44684 ÷ 131072     		x = 0.340911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94606 ÷ 217
    94606 ÷ 131072     		y = 0.721786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.31817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99958023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.443572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39352567195503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99958023} λ = -0.99958023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39352567195503))-π/2
    2×atan(0.248198693045929)-π/2
    2×0.243282598176056-π/2
    0.486565196352112-1.57079632675     		φ = -1.08423113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99958023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08423113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.121868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44684 KachelY 94606 -0.99958023 -1.08423113 -57.271728 -62.121868
    Oben rechts KachelX + 1 44685 KachelY 94606 -0.99953229 -1.08423113 -57.268982 -62.121868
    Unten links KachelX 44684 KachelY + 1 94607 -0.99958023 -1.08425354 -57.271728 -62.123152
    Unten rechts KachelX + 1 44685 KachelY + 1 94607 -0.99953229 -1.08425354 -57.268982 -62.123152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08423113--1.08425354) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08423113--1.08425354) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99958023--0.99953229) × cos(-1.08423113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467592478210102 × 6371000     		do = 142.814778675661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99958023--0.99953229) × cos(-1.08425354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467572668904111 × 6371000     		du = 142.808728403719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08423113)-sin(-1.08425354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467592478210102-0.467572668904111)×R²
    abs(-0.99953229--0.99958023)×1.98093059916027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98093059916027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98093059916027e-05×40589641000000     		ar = 20389.8210098327m²