Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44674 / 94602
↖ ↑ ↗
← S 62.116730°
W 57.299194°		 ← 142.84 m → S 62.116730°
W 57.296448°		 →
↑
142.84 m
↓
↑
142.84 m
↓
S 62.118015°
W 57.299194°		 ← 142.83 m →
20 402 m²		 S 62.118015°
W 57.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340839385986328 y=0.721759796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340839385986328 × 217)
    floor (0.340839385986328 × 131072)
    floor (44674.5)     		tx = 44674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721759796142578 × 217)
    floor (0.721759796142578 × 131072)
    floor (94602.5)     		ty = 94602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44674 / 94602 ti = "17/44674/94602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44674/94602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44674 ÷ 217
    44674 ÷ 131072     		x = 0.340835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94602 ÷ 217
    94602 ÷ 131072     		y = 0.721755981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.318328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00005960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.443511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39333392435655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00005960} λ = -1.00005960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39333392435655))-π/2
    2×atan(0.248246289112336)-π/2
    2×0.243327431842756-π/2
    0.486654863685511-1.57079632675     		φ = -1.08414146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00005960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.299194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08414146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.116730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44674 KachelY 94602 -1.00005960 -1.08414146 -57.299194 -62.116730
    Oben rechts KachelX + 1 44675 KachelY 94602 -1.00001166 -1.08414146 -57.296448 -62.116730
    Unten links KachelX 44674 KachelY + 1 94603 -1.00005960 -1.08416388 -57.299194 -62.118015
    Unten rechts KachelX + 1 44675 KachelY + 1 94603 -1.00001166 -1.08416388 -57.296448 -62.118015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08414146--1.08416388) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dl = 142.8378200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08414146--1.08416388) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dr = 142.8378200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00005960--1.00001166) × cos(-1.08414146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46767173960275 × 6371000     		do = 142.838987145163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00005960--1.00001166) × cos(-1.08416388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46765192239732 × 6371000     		du = 142.83293446053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08414146)-sin(-1.08416388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46767173960275-0.46765192239732)×R²
    abs(-1.00001166--1.00005960)×1.98172054298174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98172054298174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98172054298174e-05×40589641000000     		ar = 20402.3772596412m²