Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4467 / 5779
↖ ↑ ↗
← N 75.087153°
W130.924072°		 ← 314.39 m → N 75.087153°
W130.913086°		 →
↑
314.41 m
↓
↑
314.41 m
↓
N 75.084326°
W130.924072°		 ← 314.45 m →
98 856 m²		 N 75.084326°
W130.913086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136337280273438 y=0.176376342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136337280273438 × 215)
    floor (0.136337280273438 × 32768)
    floor (4467.5)     		tx = 4467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176376342773438 × 215)
    floor (0.176376342773438 × 32768)
    floor (5779.5)     		ty = 5779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4467 / 5779 ti = "15/4467/5779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4467/5779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4467 ÷ 215
    4467 ÷ 32768     		x = 0.136322021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5779 ÷ 215
    5779 ÷ 32768     		y = 0.176361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.72735595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28505613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176361083984375 × 2 - 1) × π
    0.64727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.03348328188278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28505613} λ = -2.28505613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03348328188278))-π/2
    2×atan(7.64065461334407)-π/2
    2×1.44065718723591-π/2
    2.88131437447183-1.57079632675     		φ = 1.31051805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28505613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.924072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31051805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.087153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4467 KachelY 5779 -2.28505613 1.31051805 -130.924072 75.087153
    Oben rechts KachelX + 1 4468 KachelY 5779 -2.28486438 1.31051805 -130.913086 75.087153
    Unten links KachelX 4467 KachelY + 1 5780 -2.28505613 1.31046870 -130.924072 75.084326
    Unten rechts KachelX + 1 4468 KachelY + 1 5780 -2.28486438 1.31046870 -130.913086 75.084326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31051805-1.31046870) × R
    4.93500000000591e-05 × 6371000     		dl = 314.408850000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31051805-1.31046870) × R
    4.93500000000591e-05 × 6371000     		dr = 314.408850000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28505613--2.28486438) × cos(1.31051805) × R
    0.000191749999999935 × 0.257349465840521 × 6371000     		do = 314.388208437208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28505613--2.28486438) × cos(1.31046870) × R
    0.000191749999999935 × 0.257397153340222 × 6371000     		du = 314.446465358577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31051805)-sin(1.31046870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257349465840521-0.257397153340222)×R²
    abs(-2.28486438--2.28505613)×4.76874997009102e-05×R²
    0.000191749999999935×4.76874997009102e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.76874997009102e-05×40589641000000     		ar = 98855.5933347682m²