Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44667 / 94547
↖ ↑ ↗
← S 62.046001°
W 57.318421°		 ← 143.17 m → S 62.046001°
W 57.315674°		 →
↑
143.16 m
↓
↑
143.16 m
↓
S 62.047288°
W 57.318421°		 ← 143.17 m →
20 496 m²		 S 62.047288°
W 57.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340785980224609 y=0.721340179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340785980224609 × 217)
    floor (0.340785980224609 × 131072)
    floor (44667.5)     		tx = 44667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721340179443359 × 217)
    floor (0.721340179443359 × 131072)
    floor (94547.5)     		ty = 94547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44667 / 94547 ti = "17/44667/94547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44667/94547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44667 ÷ 217
    44667 ÷ 131072     		x = 0.340782165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94547 ÷ 217
    94547 ÷ 131072     		y = 0.721336364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340782165527344 × 2 - 1) × π
    -0.318435668945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.00039516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721336364746094 × 2 - 1) × π
    -0.442672729492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.39069739487745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00039516} λ = -1.00039516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39069739487745))-π/2
    2×atan(0.248901661346126)-π/2
    2×0.243944665778856-π/2
    0.487889331557713-1.57079632675     		φ = -1.08290700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00039516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.318421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08290700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.046001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44667 KachelY 94547 -1.00039516 -1.08290700 -57.318421 -62.046001
    Oben rechts KachelX + 1 44668 KachelY 94547 -1.00034722 -1.08290700 -57.315674 -62.046001
    Unten links KachelX 44667 KachelY + 1 94548 -1.00039516 -1.08292947 -57.318421 -62.047288
    Unten rechts KachelX + 1 44668 KachelY + 1 94548 -1.00034722 -1.08292947 -57.315674 -62.047288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08290700--1.08292947) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dl = 143.156369999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08290700--1.08292947) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dr = 143.156369999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00039516--1.00034722) × cos(-1.08290700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468762524926276 × 6371000     		do = 143.172141059782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00039516--1.00034722) × cos(-1.08292947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468742676512492 × 6371000     		du = 143.166078843314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08290700)-sin(-1.08292947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468762524926276-0.468742676512492)×R²
    abs(-1.00034722--1.00039516)×1.98484137847177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98484137847177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98484137847177e-05×40589641000000     		ar = 20495.5700777626m²