Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44666 / 95598
↖ ↑ ↗
← S 63.369370°
W 57.321167°		 ← 136.90 m → S 63.369370°
W 57.318421°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
S 63.370601°
W 57.321167°		 ← 136.90 m →
18 743 m²		 S 63.370601°
W 57.318421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340778350830078 y=0.729358673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340778350830078 × 217)
    floor (0.340778350830078 × 131072)
    floor (44666.5)     		tx = 44666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729358673095703 × 217)
    floor (0.729358673095703 × 131072)
    floor (95598.5)     		ty = 95598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44666 / 95598 ti = "17/44666/95598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44666/95598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44666 ÷ 217
    44666 ÷ 131072     		x = 0.340774536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95598 ÷ 217
    95598 ÷ 131072     		y = 0.729354858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340774536132812 × 2 - 1) × π
    -0.318450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00044310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729354858398438 × 2 - 1) × π
    -0.458709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44107907637813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00044310} λ = -1.00044310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44107907637813))-π/2
    2×atan(0.236672233424834)-π/2
    2×0.232396086540976-π/2
    0.464792173081951-1.57079632675     		φ = -1.10600415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00044310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10600415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.369370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44666 KachelY 95598 -1.00044310 -1.10600415 -57.321167 -63.369370
    Oben rechts KachelX + 1 44667 KachelY 95598 -1.00039516 -1.10600415 -57.318421 -63.369370
    Unten links KachelX 44666 KachelY + 1 95599 -1.00044310 -1.10602564 -57.321167 -63.370601
    Unten rechts KachelX + 1 44667 KachelY + 1 95599 -1.00039516 -1.10602564 -57.318421 -63.370601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10600415--1.10602564) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dl = 136.912789999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10600415--1.10602564) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dr = 136.912789999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00044310--1.00039516) × cos(-1.10600415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448237034900618 × 6371000     		do = 136.903128079837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00044310--1.00039516) × cos(-1.10602564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448217824569376 × 6371000     		du = 136.897260750202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10600415)-sin(-1.10602564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448237034900618-0.448217824569376)×R²
    abs(-1.00039516--1.00044310)×1.92103312413039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92103312413039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92103312413039e-05×40589641000000     		ar = 18743.3875695173m²