Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44664 / 94562
↖ ↑ ↗
← S 62.065307°
W 57.326660°		 ← 143.08 m → S 62.065307°
W 57.323913°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
S 62.066593°
W 57.326660°		 ← 143.08 m →
20 473 m²		 S 62.066593°
W 57.323913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340763092041016 y=0.721454620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340763092041016 × 217)
    floor (0.340763092041016 × 131072)
    floor (44664.5)     		tx = 44664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721454620361328 × 217)
    floor (0.721454620361328 × 131072)
    floor (94562.5)     		ty = 94562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44664 / 94562 ti = "17/44664/94562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44664/94562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44664 ÷ 217
    44664 ÷ 131072     		x = 0.34075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94562 ÷ 217
    94562 ÷ 131072     		y = 0.721450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00053897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721450805664062 × 2 - 1) × π
    -0.442901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39141644837175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00053897} λ = -1.00053897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39141644837175))-π/2
    2×atan(0.248722752067177)-π/2
    2×0.243776186625813-π/2
    0.487552373251626-1.57079632675     		φ = -1.08324395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00053897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08324395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.065307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44664 KachelY 94562 -1.00053897 -1.08324395 -57.326660 -62.065307
    Oben rechts KachelX + 1 44665 KachelY 94562 -1.00049103 -1.08324395 -57.323913 -62.065307
    Unten links KachelX 44664 KachelY + 1 94563 -1.00053897 -1.08326641 -57.326660 -62.066593
    Unten rechts KachelX + 1 44665 KachelY + 1 94563 -1.00049103 -1.08326641 -57.323913 -62.066593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08324395--1.08326641) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dl = 143.092660000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08324395--1.08326641) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dr = 143.092660000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00053897--1.00049103) × cos(-1.08324395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468464862222078 × 6371000     		do = 143.081227208082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00053897--1.00049103) × cos(-1.08326641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468445019095296 × 6371000     		du = 143.075166606401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08324395)-sin(-1.08326641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468464862222078-0.468445019095296)×R²
    abs(-1.00049103--1.00053897)×1.98431267823262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98431267823262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98431267823262e-05×40589641000000     		ar = 20473.4397843533m²