Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44661 / 94557
↖ ↑ ↗
← S 62.058873°
W 57.334900°		 ← 143.11 m → S 62.058873°
W 57.332153°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
S 62.060160°
W 57.334900°		 ← 143.11 m →
20 478 m²		 S 62.060160°
W 57.332153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340740203857422 y=0.721416473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340740203857422 × 217)
    floor (0.340740203857422 × 131072)
    floor (44661.5)     		tx = 44661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721416473388672 × 217)
    floor (0.721416473388672 × 131072)
    floor (94557.5)     		ty = 94557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44661 / 94557 ti = "17/44661/94557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44661/94557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44661 ÷ 217
    44661 ÷ 131072     		x = 0.340736389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94557 ÷ 217
    94557 ÷ 131072     		y = 0.721412658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340736389160156 × 2 - 1) × π
    -0.318527221679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.00068278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721412658691406 × 2 - 1) × π
    -0.442825317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.39117676387365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00068278} λ = -1.00068278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39117676387365))-π/2
    2×atan(0.248782374200138)-π/2
    2×0.243832334452646-π/2
    0.487664668905293-1.57079632675     		φ = -1.08313166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00068278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.334900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08313166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.058873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44661 KachelY 94557 -1.00068278 -1.08313166 -57.334900 -62.058873
    Oben rechts KachelX + 1 44662 KachelY 94557 -1.00063484 -1.08313166 -57.332153 -62.058873
    Unten links KachelX 44661 KachelY + 1 94558 -1.00068278 -1.08315412 -57.334900 -62.060160
    Unten rechts KachelX + 1 44662 KachelY + 1 94558 -1.00063484 -1.08315412 -57.332153 -62.060160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08313166--1.08315412) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dl = 143.092660000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08313166--1.08315412) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dr = 143.092660000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00068278--1.00063484) × cos(-1.08313166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468564065476726 × 6371000     		do = 143.111526435544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00068278--1.00063484) × cos(-1.08315412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468544223531528 × 6371000     		du = 143.105466194748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08313166)-sin(-1.08315412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468564065476726-0.468544223531528)×R²
    abs(-1.00063484--1.00068278)×1.98419451981624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98419451981624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98419451981624e-05×40589641000000     		ar = 20477.7754072032m²